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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les applications, de $\R$ dans $\R$, définies par 

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(5x + 2)^2 - (3x - 4)^2\\
g(x)&=&(1 + 2x )(4x + 12).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs
du premier degré.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $f(x) = 0$.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle, de $\R$ dans $\R$, définie par
 \[h(x)= \dfrac{g(x)}{4(4x - 1)(x + 3)}\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer son ensemble de définition.
		\item Simplifier $h(x)$. Soit $h'$ la fonction rationnelle,
de $\R$ dans $\R$, ainsi obtenue.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $h'(x) = - 1$.
		\item Calculer $h(0),\: h\left(-\dfrac12 \right),\: h\left(\sqrt 3\right)$.
		\item Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$,  donner une valeur approchée de $h\left(\sqrt 3\right)$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} on place les points
\begin{center}A$(-2~;~2)$,\qquad B$(-3~;~-2)$ \quad et \quad C(6~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle circonscrit à ce triangle. 

Calculer les coordonnées de son centre I et la longueur de son rayon $r$.
\item Soit M$\left(-5~;~- \dfrac32 \right)$. 

Montrer que la droite (AM) est tangente au cercle $\mathcal{C}$.
\item Soit J le symétrique du point I par rapport à la droite (AC). 

Montrer que $\vect{\text{IJ}} = \vect{\text{BA}}$.
\item Montrer que la droite $(D)$ symétrique de la droite (AM) par rapport à la droite (AC) est tangente au cercle de centre J et de rayon JA.

[On utilisera les propriétés de la symétrie orthogonale d'axe (AC)].
\end{enumerate}
\end{document}