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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen  juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On pose $A = 4 -\dfrac34\left(\dfrac13 - \dfrac16\right)$.

\smallskip

En faisant apparaître les étapes du calcul, donner une écriture fractionnaire et une écriture décimale du nombre $A$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On pose $B= \sqrt{25} - \sqrt{75} + 5 \sqrt{27} - \sqrt{36 \times 3} + 2 \sqrt 9$.

\smallskip

Écrire $B$ sous la forme $a + b \sqrt 3$ avec $a$ et $b$ entiers.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans un restaurant qui reçoit 30 clients, on propose 2 menus différents. 18 clients choisissent le premier menu.

Quel est le pourcentage des clients qui ont choisi ce premier menu ?

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On pose $E = (5x - 2)(x + 7) + (5x - 2)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer $E$ pour $x = 25$.
\item Résoudre l'équation $(5x - 2)(6x + 5) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
La figure ci-contre est constituée de 6 losanges superposables.

Recopier et compléter, sans démonstration, chacune des phrases suivantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par la translation de vecteur $\vect{\text{AO}}$, l'image du losange ALOB est le
losange \ldots
\item Par la symétrie orthogonale d'axe (OB), l'image du losange ALOB est le losange \ldots
\item Par la rotation de centre O et d'angle $120\degres$ dans le sens des aiguilles d'une montre, l'image du losange ALOB est le losange \ldots.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
%\psgrid
\def\los{\pspolygon(0,0)(2.2;30)(3.8105;0)(2.2;-30)}
\multido{\n=0+60}{6}{\rput{\n}(0,0){\los}}
\uput[r](0,0){O} \uput[ur](1.9,3.3){A} \uput[ur](1.9,1.1){B} \uput[r](3.8,0){C}
\uput[dr](1.9,-1.1){D} \uput[dr](1.9,-3.3){E} \uput[d](0,-2.2){F} \uput[dl](-1.9,-3.3){G}
\uput[dl](-1.9,-1.1){H} \uput[l](-3.8,0){I} \uput[ul](-1.9,1.1){J} \uput[ul](-1.9,3.3){K}
\uput[u](0,2.2){L}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCD est un rectangle tel que AB $= 8$ cm et BC $= 5$ cm.

Ses diagonales se coupent en K.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit M le milieu du côté [CD] et H le milieu du segment [AM]. 

Démontrer que les droites (HK) et (CM) sont parallèles.
\item Calculer la longueur HK.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{DAM}}$ ; on donnera le résultat arrondi au degré.
\item Démontrer que l'aire du triangle AMC est égale à 10 cm$^2$.

En déduire l'aire du triangle AHK.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le plan est muni d'un repère (O, I, J) orthonormal. L’unité de longueur est le centimètre.

La figure est à faire sur papier millimétré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x-3$.
\item La droite $\Delta$ coupe l'axe des ordonnées en E.

Calculer les coordonnées de E.
\item Placer les points A$(-4~;~7)$ et B(8~;~1).

Montrer que l'équation de la droite (AB) est $y = \dfrac12 x + 5$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que les droites (AB) et sont $\Delta$ perpendiculaires.
		\item Soit S le point d'intersection des droites (AB) et $\Delta$, et K le milieu
du segment [EB].

Prouver que K est le centre du cercle circonscrit au triangle SEB.
		\item Démontrer que les coordonnées du point K sont $(4~;~-1 )$.
		\item Tracer le cercle circonscrit au triangle SEB.
		\item Calculer son rayon (donner la valeur exacte puis une valeur
approchée à $10^{-1}$ près).
	\end{enumerate}
\item Construire le point T symétrique de S par rapport à K.

Quelle est la nature du quadrilatère SBTE ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{document}