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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Rouen}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Rouen juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On pose :

\[A = \dfrac74 - \dfrac34 \times \left(- \dfrac19 \right) \quad \text{et}\quad  B =
\dfrac{5 \times 10^5 \times \left(2 \times 10^{-1} \right)^3}{24 \times 10^2}.\]

En indiquant les différentes étapes, calculer et donner le résultat
sous forme d'une fraction la plus simple possible.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On pose : $C = 3 \sqrt{54} +2 \sqrt{24} - 5\sqrt{96}.$

Écrire C sous la forme $a \sqrt b$ où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ le plus

petit possible.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression $D = (3 x - 5) - (2 x - 1)(3 x - 5)$.

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Calculer $D$ pour $x = \dfrac53$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre les équations : 
	\begin{enumerate}
		\item $(3 - 4 x ) - (2 x - 1) = 0$ ; 
		\item $(3 - 4 x )(2 x - 1) = 0$.
	\end{enumerate}	
\item Résoudre l'inéquation : $3 - 4x > 2x - 1$.

Représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure ci-dessous est volontairement inexacte.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(5.3,3)
\psline(1.5,2.4)(0.2,0.4)(4.7,0.4)(1.5,2.4)(1.5,0.4)%ABDAC
\uput[u](1.5,2.4){A} \uput[dl](0.2,0.4){B} \uput[ur](1.5,0.4){C} \uput[dr](4.7,0.4){D}
\uput[l](1.5,1.4){10}\uput[ur](3.1,1.4){12,5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,0.2)(1.5,0.2)\uput[d](0.85,0.2){5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.5,0.2)(4.7,0.2)\uput[d](3.1,0.2){7,5}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L’unité étant le cm, faire une figure aux mesures exactes.
\item Démontrer que le triangle ACD est rectangle en C.
\item Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier. 

Calculer l'aire du triangle ABD en cm$^2$.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{CBA}}$ au degré près.

En déduire, sans nouveau calcul, une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAD}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(5.8,4.2)
\psframe(0.2,0)(5.2,3.5)%GEFA
\psframe(0.2,3.5)(3.65,1)%DCBA
\psline(0.2,3.5)(5.2,0)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,3.7)(3.65,3.7)\uput[u](1.92,3.7){8 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,3.5)(0,1)\uput[l](0,2.25){6 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.65,0.95)(5,0)\uput[l](4.3,0.5){6 cm}
\uput[ul](0.2,3.5){A} \uput[ur](3.65,3.5){B} \uput[ur](3.65,1){C} \uput[l](0.2,1){D}
\uput[r](5.8,0){E} \uput[u](5.8,3.5){F} \uput[l](0.2,0){G}
\end{pspicture}
\end{center}

Sur la figure ci-dessus, le rectangle MEG est un agrandissement du rectangle ABCD. 

On admettra que les points A, C, E sont alignés et que (EF) // (CB) et (EG) // (CD).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur de la diagonale [AC].
\item Calculer les longueurs AF et AG.
\item Calculer l'échelle de l'agrandissement.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
L’objet ci-contre est constitué d'un cylindre et d'un cône de révolution ayant une base commune dont le rayon mesure 5 cm. La hauteur du cône mesure 12 cm, celle du cylindre mesure 4 cm.

On désigne par $V_1$ le volume du cône, par $V_2$ le volume du cylindre, et $V_T$ est le volume total de l'objet.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $V_1$ et $V_2$. Vérifier que $V_1 = V_2$.
\item En déduire la valeur exacte du volume total $V_T$ puis en donner une valeur arrondie au cm$^3$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-1,-0.4)(1,3.4)
\psellipticarc(0,0)(1,0.35){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1,0.35){0}{180}
\psellipticarc(0,0.9)(1,0.35){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0.9)(1,0.35){0}{180}
\pspolygon(-1,0.9)(0,3.4)(1,0.9)(0,0.9)(0,3.4)%
\psline(-1,0)(-1,0.9)\psline(1,0)(1,0.9)
\uput[u](0.5,0.9){\footnotesize 5 cm}
\rput{90}(-0.2,2.15){\footnotesize 12 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.2,0)(1.2,0.9)\uput[r](1.2,0.45){4 cm}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI = OJ $= 1$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(5~;~0) ; B$(-1~;~-2)$ ; C(1~;~4) et compléter la figure au cours des questions.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D tel que $\vect{\text{BD}} = \vect{\text{BC}} + \vect{\text{BA}}$.
		\item Calculer les distances BC et AB.
		\item Déduire des questions a. et b. que ABCD est un losange. 
		\item Calculer les coordonnées de son centre K.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, par lecture graphique ou par le calcul, l'équation de la droite (AC).
		\item En déduire le coefficient directeur de la droite (BD).
		\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que I est le milieu de [BK] et J le milieu de [BC].
		\item Les droites (CI) et (KJ) se coupent en P{}. Que représente le point P pour le triangle BCK ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}