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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small juin 1998}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer la valeur exacte de $A$ et $B$ en détaillant les calculs sur la copie :

\[A = \dfrac35 - \dfrac25 : \dfrac{4}{25}, \qquad B = \dfrac{5 \times 10^{-4}}{15 \times 10^5} \times 10^{10}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire sous la forme $a+ b\sqrt 2$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers: 

\[E = 5 + 6 \sqrt 2\left(3\sqrt 2 + 4\right), \qquad  F = \left(7\sqrt 2 - 4\right)^2.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre l'équation : $(4x + 1) (- x + 3) = 0$.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

La somme de deux nombres est $134$ ; leur différence est $126$. Trouver ces deux nombres en expliquant vos calculs.

(On peut appeler $x$ et $y$ les nombres cherchés et résoudre le système obtenu.)

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Résoudre le système d'inéquations :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + 8 &\geqslant &3x\\
x + 2( x + 1)&\geqslant & 4
\end{array}\right.\]

Représenter la solution sur une droite graduée, en indiquant clairement
sur quelle partie de la droite graduée se trouvent les solutions.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter les points : A$(-2~;~3)$ B$(1~;~-1)$ C(9~;~5).
\item Calculer les distances AB, AC, BC.
\item En déduire que ABC est un triangle rectangle en B.
\item Calculer $\tan \widehat{\text{C}}$. 

En déduire la valeur arrondie de l'angle $\widehat{\text{C}}$ au degré près.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J).

On donne les points : E$(1~;~- 4)$, \,F$(3~;~- 1)$, \,G(2~;~0), \,H$(0~;~- 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que l'équation de la droite (EF) est $y = 1,5 x - 5,5$.
\item Donner l'équation de la droite(GH),soit par une lecture du graphique, soit par un calcul.
\item Les droites (EF) et (GH) sont-elles parallèles ? Justifiez à l'aide de 1. et 2.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
On considère la figure ci-contre, où nous avons en réalité les longueurs suivantes :

AB $= 6$, \,  AC $= 15$, \, AE $= 25$, \, AD $= 10$, \, CE $= 22$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (BD) et (CE) sont parallèles.
\item Calculer BD.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.42\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4.3)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,0.2)(4.9,0.2)(1.2,3.8)%CEA
\psline(0.9,2.6)(2.45,2.6)%BD
\uput[u](1.2,3.8){A} \uput[l](0.9,2.6){B} \uput[dl](0.3,0.2){C} \uput[r](2.45,2.6){D} \uput[dr](4.9,0.2){E}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Les trois parties sont indépendantes.

Dans tout le problème, les unités employées sont le cm, le cm$^2$ et le cm$^3$.

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
On considère le solide représenté ci-contre :

ABCDEFGH est un pavé droit de base carrée ABCD avec AB $= 1,5$ cm et de hauteur AE $= x$ cm.

SEFGH est une pyramide régulière de hauteur $4$ cm.

On appelle $V_1$ le volume du solide représenté ci-contre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $V_1 = 2,25x + 3$.
\item Le volume $V_1$ est-il proportionnel à la hauteur $x$ ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.8,7.7)
\psframe(0.3,0)(3,1.5)%ABFE
\psline(3,0)(4.9,1)(4.9,2.4)(3,1.5)%BCGF
\psline(4.9,2.4)(2.6,6.9)(3,1.5)%GSF
\psline(0.3,1.5)(2.6,6.9)%ES
\psline[linestyle=dashed](0.3,0)(2.2,1)(4.9,1)%ADC
\psline[linestyle=dashed](0.3,1.5)(2.2,2.4)(4.9,2.4)%EHG
\psline[linestyle=dashed](2.2,1)(2.2,2.4)(2.6,6.9)%DHS
\uput[l](0.3,0){A} \uput[r](3,0){B} \uput[r](4.9,1){C} \uput[ul](2.2,1){D}
\uput[l](0.3,1){E} \uput[dr](3,1.5){F} \uput[r](4.9,2.4){G} \uput[ul](2.2,2.4){H} \uput[u](2.6,6.9){S}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

On considère des cylindres dont la base est un disque d'aire 3 cm$^2$ et dont la hauteur, variable, est notée $x$ . On appelle $V_2$ le volume d'un tel cylindre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer le volume $V_2$ en fonction de $x$.
\item Le volume $V_2$ est-il proportionnel à la hauteur $x$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie (graphique)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthogonal (O, I, J), avec OI $= 2$ cm et OJ $= 1$ cm,
construire les représentations graphiques des fonctions $V_1$ et $V_2$ : $V_1 = 2,25x + 3, \quad  V_2 = 3 x$.

Pour les questions suivantes, on ne demande aucun calcul ; les réponses doivent être lues graphiquement. Vous devez laisser apparents les pointillés nécessaires à la lecture et donner la réponse sur la copie.
\item Déterminer pour quelle valeur de x on a $V_1 = 7,5$.
\item Pour quelle valeur de $x$ les deux solides ont-ils le même volume ? Quel est ce volume ?
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $V_1$ supérieur ou égal à $V_2$?
\end{enumerate}


\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Formulaire}	\\ \hline
Solide		&Volume	\\ \hline
Prisme droit&aire de la base $\times$ hauteur	\\ \hline
Cône 		& (aire de la base $\times$ hauteur) : 3\\ \hline
Cylindre	& aire de la base $\times$ hauteur\\ \hline
Pyramide	&(aire de la base $\times$ hauteur) : 3\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}