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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small juin 1999}
\rfoot{\L'année 1999}
\lfoot{\small Rouen}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Rouen juin 1999 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On pose :

\[A = \dfrac14 + \dfrac34 : \left(1 + \dfrac18 \right), \quad  B = \dfrac{2 \times 10^5 \times \left(3 \times 10^{-3} \right)}{15 \times 10^2}, \quad  C = 2\sqrt{108} - 5\sqrt3 + \sqrt{48}.\]

\smallskip

Détailler les différentes étapes des calculs et écrire :
\begin{itemize}
\item $A$ sous forme de fraction la plus simple possible,
\item $B$ en notation scientifique,
\item $C$ sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ est un entier et $b$ un entier positif le plus petit possible.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Tous les ans en janvier, le gérant du magasin Eurosouk accorde une remise de 20\,\% sur tous les articles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien paiera-t-on, en janvier 2002, un article affiché $825$ F en décembre 2001?
\item On suppose que la valeur de l'euro sera de $6,60$ francs. 

Quel sera, en janvier 2002, le prix de cet article en euros ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression : $D = (5x - 1)^2 - 49$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation : $(5x - 8)(5x + 6) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Le diagramme circulaire ci-dessous donne la répartition des 64 matchs
joués sur le territoire français lors de la 16\up{e} coupe du monde.
7 matchs ont été joués à  Marseille.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\pscircle(0,0){2}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){2}{170}{209.375}\rput(2.7;189.4){\footnotesize Marseille}
\pswedge(0,0){2}{209.375}{240}\rput(2.7;225){\footnotesize Lyon}
\pswedge(0,0){2}{240}{272}\rput(2.7;256){\footnotesize Lens}
\pswedge(0,0){2}{140}{170}\rput(2.7;155){\footnotesize Bordeaux}
\pswedge(0,0){2}{272}{302}\rput(2.7;287){\footnotesize Toulouse}
\pswedge(0,0){2}{302}{335}\rput(2.7;318){\footnotesize Saint-Etienne}
\pswedge(0,0){2}{335}{365}\rput(2.7;350){\footnotesize Lyon}
\pswedge(0,0){2}{5}{40}\rput(2.8;22.5){\footnotesize Saint-Denis}
\pswedge(0,0){2}{40}{72}\rput(2.7;56){\footnotesize Paris}
\pswedge(0,0){2}{72}{112}\rput(2.7;92){\footnotesize Nantes}
\pswedge(0,0){2}{112}{140}\rput(2.7;126){\footnotesize Montpellier}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel est, par rapport à la totalité des matchs joués, le pourcentage arrondi à l'unité des matchs joués à Marseille ?
\item Calculer la mesure de l'angle correspondant sur le diagramme au nombre de matchs joués à Marseille, arrondie à 1 degré près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
L'unité de longueur est le centimètre.

La figure ci-contre représente le partage du polygone ABCDEF en huit quadrilatères superposables.

I est le milieu du segment [AB].

Recopier les quatre phrases suivantes et les compléter, sans justification.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
%\psgrid
\pspolygon(0,2.5)(-2.5,0.5)(-2.5,-0.5)(0,-2.5)(2.5,-0.5)(2.5,0.5)
\psline(1.4,1.4)(0.5,0)(-0.5,0)(-1.4,1.4)
\psline(1.4,-1.4)(0.5,0)(-0.5,0)(-1.4,-1.4)
\psline(-2.5,0)(2.5,0)\psline(0,2.5)(0,-2.5)
\rput(1.5,0.5){1}\rput(1.5,-0.5){2}\rput(-1.5,-0.5){3}\rput(-1.5,0.5){4}
\rput(-0.5,-1.5){5}\rput(0.5,-1.5){6}\rput(-0.5,1.5){7}\rput(0.5,1.5){8}
\uput[dr](0,0){O}\uput[u](0,2.5){A}\uput[d](0,-2.5){D}
\uput[ur](-0.5,0){N}\uput[ul](0.5,0){M}\uput[dr](1.4,-1.4){J}\uput[ur](1.4,1.4){I}
\uput[ur](2.5,0.5){B}\uput[ur](2.5,-0.5){C}\uput[l](-2.5,-0.5){E}\uput[l](-2.5,0.5){F}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le transformé du quadrilatère 1 par la symétrie centrale de centre O  est \ldots
\item Le transformé du quadrilatère 1 par la symétrie axiale d'axe la droite (AD) est \ldots
\item L'image du point N par la translation de vecteur $\vect{\text{JM}}$ est \ldots
\item Le transformé du quadrilatère 1 par la rotation de centre I et d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre est ...
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur le dessin ci-après, les dimensions ne sont pas respectées.
L'unité de longueur est le centimètre.
Le dessin ci-après représente un cube en bois dont la longueur des arêtes est de $4$~cm et dans lequel on découpe la pyramide AEFH de hauteur AE.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize = 3pt 2}
\begin{pspicture}(5.5,5.5)
\psframe(3.5,3.5)%EFBA
\psline(3.5,0)(4.8,1.4)(4.8,4.9)(3.5,3.5)%FGCB
\psline(4.8,4.9)(1.3,4.9)(0,3.5)%CDA
\psline[linewidth=1.3pt,linestyle=dotted](0,0)(1.3,1.4)(1.3,4.9)%EHD
\psline[linewidth=1.3pt,linestyle=dotted](1.3,1.4)(4.8,1.4)%HG
\uput[ul](0,3.5){A} \uput[ul](3.5,3.5){B} \uput[ur](4.8,4.9){C} \uput[u](1.3,4.9){D}
\uput[dl](0,0){E} \uput[dr](3.5,0){F} \uput[r](4.8,1.4){G} \uput[l](1.3,1.4){H}
\psline(0,3.5)(3.5,0)%AF
\psline[linewidth=1.3pt,linestyle=dotted](0,3.5)(1.3,1.4)(3.5,0)%AHF
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,-0.5)(3.5,-0.5)\uput[u](1.75,-0.5){4~cm}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%% cube
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la nature des triangles suivants : AEF{}, AEH et EFH.
		\item Démontrer que le triangle AFH est équilatéral.
	\end{enumerate}		
\item Dessiner en vraie grandeur le patron de la pyramide AEFH.
\item Calculer le volume arrondi au cm$^3$ de cette pyramide.
\item On réalise un agrandissement de cette pyramide.

On obtient une pyramide A$'$E$'$F$'$H$'$ dont le volume est huit fois plus grand.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'échelle d'agrandissement.
		\item Calculer la longueur de l'arête [A$'$E$'$].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Le plan est rapporté à an repère orthonormal (O, I, J) ; l'unité de longueur est le centimètre.

Faire une figure sur du papier millimétré et la compléter au fur et à mesure des questions.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points suivants :

\[\text{A}(0~;~8),\quad \text{B}(-6~;~0),\quad \text{C}(-8~;~4),\quad \text{E}(0 ~;~- 6).\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances AB, BC et AC.
		
En déduire la nature du triangle ABC.
		\item Calculer la valeur exacte de $\sin \widehat{\text{CAB}}$.
		
En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{CAB}}$ arrondie au degré près.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer (C) le cercle circonscrit au triangle ABC. Préciser la position de son centre K et calculer son rayon.
		\item Pourquoi le cercle (C) passe-t-il par le point O ? En déduire la distance OK.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $y = \dfrac43 x + 8$ est une équation de la droite (AB).
		\item On appelle $(\Delta)$ la droite parallèle à la droite (AB) et passant par le
point E.

Écrire en justifiant une équation de la droite $(\Delta)$.
		\item La droite (OK) coupe la droite $(\Delta)$ en un point L.
		
Déterminer par lecture graphique la valeur exacte de $\dfrac{\text{OA}}{\text{OE}}$.

 En déduire la distance OL.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}