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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Indochine}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Saïgon juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Dans un rectangle, le périmètre est égal à $132$~m.

Si l'on augmentait la longueur de $24$~m et la largeur de $15$~m, la surface augmenterait de \np{1620}~m$^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Chercher ces deux dimensions.
\item En supposant que le périmètre est égal à $2 a$ et que les autres conditions restent les mêmes, calculer l'expression des deux côtés du rectangle.
\item Quelles sont la plus petite et la plus grande valeur que l'on peut donner à $a$ pour que le problème soit possible ?

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit ABC un triangle dans lequel le côté [BC] a pour longueur $8$~cm et l'angle 
$\widehat{\text{A}} =  30\degres$.

[BC] est fixe en position.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le lieu du point A ? Le construire.
\item Construire géométriquement les hauteurs [BH] et [CK] relatives aux côtés [AB] et [AC] et calculer leur longueur dans le cas où l'angle $\widehat{\text{B}} = 60\degres$.
\item L'angle $\widehat{\text{B}}$ étant quelconque, montrer que le quadrilatère BHKC est inscriptible.

Soit O le milieu de [BC] ; évaluer les angles et les côtés du triangle KOH.
\item Montrer que la droite (HK) est tangente à un cercle fixe, dont on déterminera le centre et le rayon.
\end{enumerate}
\end{document}