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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Sarthe}
\lfoot{\small juin 1982}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Sarthe juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit l'application $P$, de $\R$ dans $\R$ définie par

\[x \longmapsto P(x)= - 5x^3 + x^2\sqrt 3 + 125x  - 25 \sqrt 3.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer $Q(x) = \left(5x - \sqrt 3\right)\left(25 - x^2\right)$.

En déduire que : $P(x) = Q(x)$.
\item Factoriser $P(x)$ en un produit de trois facteurs du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ : $P(x) = 0$.
\item Représenter graphiquement dans le même repère orthonormé \Oij les applications suivantes :

\[f\:\left\{\begin{array}{l c l}
\R&\to &\R\\
x &\longmapsto &f(x) = \phantom{-}5x - \sqrt 3\:;\\
\end{array}\right.\]
\[g\:\left\{\begin{array}{l c l}
\R&\to &\R\\
x &\longmapsto &g(x) = \phantom{-}x + 5 \:;
\end{array}\right.\]
\[h\:\left\{\begin{array}{l c l}
\R&\to &\R\\
x &\longmapsto &h(x) = -x + 5.
\end{array}\right.\]

(On prendra le centimètre comme unité pour chacun des axes.)
\item Résoudre graphiquement le système I ci- dessous :

\[\text{I}\:\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{-5}x - y + 5&>&0 \\
\phantom{-5}x + y - 5&\geqslant&0\\
- 5x +y &<&\sqrt 3.
\end{array}\right.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij{} placer les trois points suivants : 

\begin{center}A(3~;~3), \qquad  B(2~;~1), \qquad C(1~;~2).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère (A, B, O, C) est un losange.
\item Construire le point E symétrique de A par rapport à C.

Quelles sont les coordonnées de E ?
\item Construire le point D symétrique de B par rapport à E.

Quelles sont les coordonnées de D?
\item Quelle est l'équation de la droite $(\Delta)$ qui contient E et qui est perpendiculaire à (OA)? 

Démontrer que O appartient à $(\Delta)$.
\item Soit G l'image de D dans la symétrie orthogonale par rapport à (OA).

Démontrer que (DG) est parallèle à $(\Delta)$. 

Quelle est l'image de G dans la symétrie orthogonale par rapport à $(\Delta)$ ?
\end{enumerate}
\end{document}