\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Scandinavie juin 1993},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Scandinavie}
\lfoot{\small juin 1993}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Scandinavie juin 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\emph{Les quatre exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants (on donnera les résultats sous la forme d'une fraction simple).

\[ A = \dfrac47 - \dfrac32\left(1 - \dfrac53\right) \qquad  B = \left(2 + \dfrac49\right) : \left(\dfrac12 - \dfrac23\right) \qquad C = \dfrac{16 \times 3^2\times10^{-2}}{ 27\times2^3 \times 10^{-3}}\]
\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $D = 3\sqrt{20} - 5\sqrt{45}$ sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ et $b$ sont des nombres relatifs.
\item On pose $u = 2\sqrt 3$ et $t = 5\sqrt 3$.

Calculer la valeur exacte de : $u - t \:;\: u \times  t$ et $u^2 + t^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $E(x) = 49x^2 - 16$,
puis $F(x) = 49x^2 - 16 - (7x - 4)(x + 6)$.
\item Résoudre l'équation :

\[(7x - 4)(3x - 1) = 0\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre :

\[x +3(x - 2) = 0\]

\[ 2x + 9 \leqslant 3x- 1.\]

\newpage

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\begin{minipage}{0.68\linewidth}
Un grand parfumeur désire faire fabriquer un emballage pour de échantillons de parfums.

Cet emballage est une pyramide de base triangulaire.

Certaines contraintes sont fixée par le parfumeur :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] l'emballage devra être coupé suivant (EF), (FG) et (GE), (EF) étant parallèle à (OC), (FG) étant parallèle à (CB) et (EG) étant parallèle à (DB).
\item[$\bullet~$]les mesures (données en cm)
suivantes sont imposées :

FA $= 7,5$ ; AC $= 10$ ; CD $= 6$.

BC $= 8$ ; FG $= 6$.
\item[$\bullet~$]les triangles AOC, ACB et COB sont rectangles en C.
\end{itemize}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.5,9.3)
%\psgrid
\psline(0.2,9)(0.2,2.2)(1,0.2)(2.9,3.7)(0.2,9)(1,0.2)%ACDBAD
\uput[u](0.2,9){A} \uput[r](2.9,3.7){B} \uput[l](0.2,2.2){C} \uput[d](1,0.2){D}
\uput[r](0.76,3){E}\uput[l](0.2,4.3){F}\uput[ur](2,5.2){G}
\psline(0.2,4.3)(0.76,3)(2.14,5.22)%FEG
\psline[linestyle=dashed](0.2,2.2)(2.9,3.7)%CB
\psline[linestyle=dashed](0.2,4.3)(2.14,5.22)%FG
\psline(0.4,4.4)(0.5,4.2)(0.3,4.1)%F
\psline(0.2,2.4)(0.4,2.53)(0.4,2.33)
\psline(0.37,2.33)(0.5,2.05)(0.3,1.96)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'arête BD mesure $10$ cm.
\item Calculer la valeur exacte de l'aire de la base BCD.
\item Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide ACDB.
\item Quelles sont les mesures des segments [FE], [AE] et [EG] ?
\item Le triangle AFE est-il rectangle ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Pour fabriquer un pin's, une étude de prix a été demandée à deux entre- prises.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] L'entreprise A demande une somme de \np{1000}~F pour l'étude et un prix de $2,50$~F par pin's.
\item[$\bullet~$] L'entreprise B demande seulement 3,30~F par pin's.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
nombre de pin's fabriqués&200 &600 &\np{1000} &\np{1500}\\ \hline
Coût avec l'entreprise A&&&&\\ \hline
Coût avec l'entreprise B&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Exprimer le prix de $x$ pin's pour chaque entreprise.
\item Dans le plan rapporté à un repère orthogonal dans lequel on portera en abscisse le nombre de pin's fabriqués (1 cm pour $100$ pin's) et en ordonnée le coût (1 cm pour $200$~francs)
représenter les droites d'équations

\[y = 3,3 x \quad\text{et}\quad  y = 2,5x + \np{1000}\]

 correspondant aux coûts de fabrication.
\item Par lecture et traçage graphique, préciser quelle est l'entreprise la plus économique pour la production de $800$ pin's.
\item Calculer le nombre de pin's pour lequel les coûts seront identiques pour les deux entreprises ; dans ce cas quel sera le montant de la facture ?
\item Peut-on retrouver le résultat précédent sur le graphique ? (Préciser comment).
\end{enumerate}
\end{document}