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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Scandinavie}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Scandinavie juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

2 4(5) 7X104 On pose 

\[A = \dfrac{9}{10} - \dfrac25 \times 3\, ;\qquad B = \dfrac43 : \left(- \dfrac57\right) \, : \qquad  C = \dfrac{7 \times 10^4}{2 \times \left(10^3\right)^2}.\]

En faisant apparaître les étapes des calculs, donner

\medskip

\begin{enumerate}
\item une écriture fractionnaire des nombres A et B;
\item une écriture du nombre C en notation scientifique.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On pose $D = \sqrt 6 \times 2\sqrt 3\, ; \qquad  E = \sqrt{32} - 3\sqrt {50}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $D$ et $E$ sous la forme $a \sqrt 2$ ,où $a$ est un entier relatif.
\item Montrer que le produit de $D$ par $E$ est un entier relatif.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne l'expression $F = \left(9x^2 - 4\right) + (3x - 2) (x - 5)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$.
\item Factoriser $9x^2 - 4$.
\item Factoriser $F$ (on réduira l'écriture de chaque facteur).
\item Résoudre l'équation $(3x - 2) (4x - 3) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

À chaque élève d'un collège, on a demandé le montant de son argent de poche mensuel. 

Les résultats sont reportés dans le tableau suivant où $m$ désigne le montant de l'argent de poche, exprimé en francs.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$m$ (en F) &$0 \leqslant m < 50$&$50 \leqslant m < 100$&$100 \leqslant m < 150$&$150 \leqslant m < 200$\\ \hline
Nombre d'élèves&190 &150 &60 &10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quel est le pourcentage d'élèves du collège qui reçoivent chaque mois moins de $100$~F ? On donnera l'arrondi à l'unité.

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Sur une feuille de papier millimétré, reproduire la figure ci-contre où ABCD est un rectangle tel que AB~$=~4$~cm et AD $= 2$ cm et  F est le milieu du segment [DC].
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.4,2.4)
\psframe(0.2,0.2)(4.2,2.2)
\psline(2.2,0.1)(2.2,0.3)
\uput[ul](0.2,2.2){A} \uput[ur](4.2,2.2){B} \uput[dr](4.2,0.2){C}
\uput[dl](0.2,0.2){D} \uput[d](2.2,0.2){F} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer en rouge l'image du rectangle ABCD par la translation
de vecteur $\vect{\text{AF}}$.
\item Tracer en bleu l'image du rectangle ABCD par la rotation de centre C d'angle $90\degres$ dans le sens des aiguilles d'une montre.
\item Placer le point G tel que $\vect{\text{FG}} = \vect{\text{FA}} + \vect{\text{FB}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI = 1 cm et OJ = 1 cm.

Placer les points A$(- 5~;~5)$ et B(7~;~1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AB).
\item Montrer que l'équation de la droite (AB) est $y = - \dfrac13 x + \dfrac{10}{3}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la médiatrice $\Delta$ du segment [AB].
		\item Parmi ces équations de droites, quelle est celle de $\Delta$ ?

\[y = 3x + 1 \,;\qquad y = - 3x \,;\qquad y = \dfrac13 x\, ;\qquad y = 3x.\]

Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Questions enchaînées }

\medskip

\begin{enumerate}
\item ABCD est un carré de 3 cm de côté. E est le point de la demi-droite [AB) tel que AE $= 9$ cm.

Les droites (EC) et (AD) se coupent en un point F.
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure.
		\item Démontrer que AF $= 4,5$ cm.
		\item Calculer EF. (On arrondira à $0,1$ cm.)
		\item Calculer la valeur approchée, à un degré près par excès, de la 
mesure de l'angle $\widehat{\text{AEF}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item En tournant autour de la droite (AE), le triangle AEF engendre un cône de hauteur $9$ cm et de rayon $4,5$~cm, et le carré ABCD engendre un cylindre de rayon $3$~cm et de hauteur $3$~cm, inscrit dans le cône. 

Voir le dessin ci-contre.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $\pi$, le volume $V_1$ du cône.
		\item Exprimer, en fonction de $\pi$ le volume $V_2$ du cylindre.
		\item Vérifier que le rapport $\dfrac{V_1}{V_2}$ est égal à 2,25.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.8,-1)(2.8,5.6)
%\psgrid
\psellipticarc(0,1.6)(1.8,0.6){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,1.6)(1.8,0.6){0}{180}
\psellipticarc(0,0)(1.8,0.6){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.8,0.6){0}{180}
\psellipticarc(0,0)(2.6,1){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(2.6,1){0}{180}
\psline[linestyle=dashed](-2.6,0)(2.6,0)
\psline[linestyle=dashed](-1.8,0)(-1.8,1.6)(1.8,1.6)(1.8,0)
\psline(-2.6,0.1)(0,5.2)(2.6,0.1)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,5.2)
\psframe(0,0)(0.2,0.2)
\uput[d](0,0){A}\uput[dl](0,1.6){B}\uput[u](0,5.2){S}
\uput[r](1.8,1.6){C}\uput[dr](1.8,0){D}\uput[r](2.6,0){F}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\end{document}