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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Scandinavie}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Scandinavie juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On pose $A= - \dfrac{9}{10} -  \dfrac25 \times 3 ; \, B = \dfrac53 - \dfrac76 + 1 ; \quad C = \dfrac{2,5 \times 10^{-3} \times 3 \times 10^{4}}{4 \times 10^{-2} \times 6 \times 10^{-3}}$.

En faisant apparaître les étapes des calculs, donner :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une écriture fractionnaire des nombres $A$ et $B$.
\item Une écriture du nombre $C$ en notation scientifique.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On pose $D=  \sqrt 6  \times 2 \sqrt 3\, ;\quad  E= \sqrt{32} - 3 \sqrt{50}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $D$ et $E$ sous la forme $a \sqrt 2$, où $a$ est un entier relatif.
\item Montrer que le produit de $D$ par $E$ est un entier relatif.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne l'expression $F = \left(9x^2 - 4\right) + (3x - 2)(x - 5)$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$.
\item Factoriser $9 x^2 - 4$.
\item Factoriser $F$ (on réduira l'écriture de chaque facteur). 
\item Résoudre l'équation $(3x - 2) (4x- 3) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

À chaque élève d'un collège, on a demandé le montant de son argent de poche mensuel. 

Les résultats sont reportés dans le tableau suivant où $m$ désigne le montant de l'argent de poche, exprimé en francs.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$m$ (en F)&$0 \leqslant m < 50$&$0 \leqslant m < 50$&$0 \leqslant m < 50$&$0 \leqslant m < 50$\\ \hline
Nombre d’élèves&190&150&60&10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quel est le pourcentage d'élèves du collège qui reçoivent chaque mois
moins de $100$ F ? On donnera l'arrondi à l'unité.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur une feuille de papier millimétré, reproduire la figure ci-dessous où ABCD est un rectangle tel que AB $= 4$ cm et AD $= 2$ cm ; F est le milieu du segment [DC].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.4,2.4)
\psframe(0.2,0.2)(4.2,2.2)%DCBA
\psline(2.2,0.1)(2.2,0.3)%F
\uput[ul](0.2,2.2){A} \uput[ur](4.2,2.2){B} \uput[dr](4.2,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D} \uput[d](2.2,0.2){F}
\uput[u](2.2,2.2){4}\uput[l](0.2,1.2){2}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Tracer en rouge l'image du rectangle ABCD par la translation de
vecteur $\vect{\text{AF}}$.
\item Tracer en bleu l'image du rectangle ABCD par la rotation de centre C et d'angle $90\degres$ dans le sens des aiguilles d'une montre.
\item Placer le point G tel que $\vect{\text{FG}} = \vect{\text{FA}} + \vect{\text{FB}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI $= 1$ cm et OJ $= 1$ cm.

Placer les points A$(-5~;~5)$ et B (7~;~1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AB].
\item Montrer que l'équation de la droite (AB) est $y = - \dfrac13
x + \dfrac{10}{3}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la médiatrice $\Delta$ du segment [AB].
		\item Parmi ces équations de droites, quelle est celle de $\Delta$ ?
Justifier votre réponse.

\[y = 3x +1 \,; \quad y = - 3x \,; \quad  y = \dfrac13 x \,; \quad  y = 3x \]

	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ABCD est un carré de $3$ cm de côté. E est le point de la demi-droite [AB) tel que AE $= 9$ cm. Les droites (EC) et (AD) se coupent en un point F.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure.
		\item Démontrer que AF $= 4,5$ cm.
		\item Calculer EF (on arrondira à $0,1$ cm).
		\item Calculer la valeur approchée, à un degré près par excès, de la mesure de l'angle $\widehat{\text{AEF}}$.
	\end{enumerate}
\item En tournant autour de la droite (AE), le triangle AEF engendre un cône de hauteur $9$~cm et de rayon $4,5$~cm, et le carré ABCD engendre un cylindre de rayon $3$~cm et de hauteur $3$~cm, inscrit dans le cône.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.3,-1.1)(3.3,6.1)
\psellipticarc(0,0)(2.1,0.7){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(2.1,0.7){0}{180}
\psellipticarc(0,1.8)(2.1,0.7){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,1.8)(2.1,0.7){0}{180}
\psellipticarc(0,0)(3.1,1.15){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(3.1,1.15){0}{180}
\psline(-3.1,0)(0,5.8)(3.1,0)
\psline[linestyle=dashed](-3.1,0)(3.1,0)
\psline[linestyle=dashed](-2.1,0)(-2.1,1.8)
\psline[linestyle=dashed](2.1,0)(2.1,1.8)
\psline[linestyle=dashed](-2.1,1.8)(2.1,1.8)
\psline[linestyle=dashed](0,5.8)(0,0)
\psframe(0,0)(0.2,0.2)
\uput[d](0,0){A} \uput[dl](0,1.8){B} \uput[r](2.1,1.8){C}
\uput[dr](2.1,0){D} \uput[u](0,5.8){E} \uput[r](3.1,0){F}
\end{pspicture}
\end{center}

Voir le dessin ci-dessus.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $\pi$ le volume $V_1$ du cône.
		\item Exprimer, en fonction de $\pi$, le volume $V_2$ du cylindre.
		\item Vérifier que le rapport $\dfrac{V_1}{V_2}$ est égal à 2,25.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}