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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Seine et Marne}
\lfoot{\small juin 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Seine et Marne juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

Soit $f$ le polynôme défini par:
\[f(x) =(2x + 3)^2 - (x + 4)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser le polynôme $f$, puis calculer $f\left(\frac13\right)$.
\item Développer, réduire et ordonner le polynôme $f$.
\item Calculer $a = f\left(\dfrac{1}{\sqrt 2}\right)$.

Sachant que: $1,41 < \sqrt 2 < 1,42$ donner un encadrement de $a$, puis sa valeur approchée par défaut à un dixième près.
\item Résoudre dans $\R$ les deux systèmes d'inéquations:

\[(1)\:\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{3}x - 1 &>& 0\\
3x + 7 &<& 0 
\end{array}\right. \qquad (2) \:\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{3}x - 1 &< &0\\
3x + 7 &>& 0
\end{array}\right.\]

En déduire l'ensemble des solutions dans $\R$ de l'inéquation: $f(x) \leqslant 0$.
\item Représenter graphiquement, dans un repère orthonormé \Oij{} les fonctions affines $g$ et $h$ définies par:
\begin{center}$g(x) = 2x + 3$\qquad  ; \qquad $h(x) =x + 4$\end{center}

En déduire les représentations graphiques, dans le même repère, des fonctions
affines par intervalles $G$ et $H$ définies par: 
\begin{center}$G(x) = |g(x)|$\qquad  et \qquad $H(x) = |h(x)|$.\end{center}

On expliquera pourquoi on peut retrouver sur ce graphique les solutions de
l'équation dans $\R$ : $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij{} placer les points suivants, définis par leurs coordonnées:
\begin{center}A(-6~;~0) ;\quad B(4~;~6) ; \quad C(6~;~4) ; \quad D(3~;~1)\end{center}
\item Calculer les coordonnées du point K milieu du bipoint (A, B) puis celles du point L milieu du bipoint (B, C).
\item On donne N$(1~;~- 3)$. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{KL}}$ et $\vect{\text{KN}}$.

Démontrer que ces vecteurs sont orthogonaux et qu'ils ont même norme.

Calculer-les coordonnées du point M, image du point N dans la translation de
vecteur $\vect{\text{KL}}$.

Démontrer que le quadruplet (K, L, M, N) est un carré.
\item Calculer les coordonnées du point E défini par: 
\[\vect{\text{AE}} = 14\vect{\imath} - 6\vect{\jmath}.\]

Démontrer que M et N sont les milieux respectifs des bipoints (C, E) et (A, E) .
\end{enumerate}
\end{document}