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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1965}
\rfoot{\small Sénégal}
\lfoot{\small juin 1965}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Sénégal  juin 1965 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de facteurs du premier degré chacune des expressions suivantes

\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(3x - 4)^2 - 4(y + 2)^2,\\
B(x)&=&9x^2 - 12 xy + 4y^2,\\
C(x)&=&9x^2-4y^2.
\end{array}\]

\item Simplifier le rapport $\dfrac{A(x)}{C(x)}$.

Ce rapport peut-il être égal à 1 ?
\item On considère les rapports $\dfrac{A(x)}{C(x)}$ et $\dfrac{16}{B(x)}$ et l'on pose 
\[z = 3x - 2y.\]
Calculer en fonction de $z$ les expressions
\[E_1  = \dfrac{A(x)}{C(x)} +  \dfrac{16}{B(x)}\quad  \text{et}\quad  E_2 = \dfrac{A(x)}{C(x)} \times  \dfrac{16}{B(x)}.\]

En déduire que $E_1$ est le carré d'un rapport simple. 
\item Calculer $x$ et $y$ dans le cas où l'on a
\[z = 1 \quad \text{et}\quad  \dfrac xy = \dfrac 45.\].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle ABC, rectangle en A, dont l'angle $\widehat{\text{C}}$ vaut $30\degres$.

Le cercle (O) de diamètre [AB] coupe (BC) en P.

On pose AB $= 2R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $R$, la mesure de chacun des segments [AC], [BC], [AP] et [BP].
\item La parallèle menée à (AB) par P coupe (O) en Q ; le segment [AQ] coupe (BC) en T.

Montrer que (AQ) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{PAC}}$.

Quelle est la nature des triangles ABT et ATC ?
\item Soit P$'$ le symétrique de P par rapport à (AB).

Montrer que les points Q et P$'$ sont diamétralement opposés sur le cercle (O).
\item Comparer les triangles PQP$'$ et ABC.

Calculer leur rapport de similitude.
\end{enumerate}
\end{document}