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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Sénégal septembre1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit $P$ et $Q$ les fonctions polynômes définies par 
\[\begin{array}{l c l}
P(x) &=& (1 - x)(x - 3)^2 - \left(x^2 - 2x + 1\right)(3 - x) -9 + x^2.\:\:\text{et}\\
Q(x) &=&18x^2.- 2 + 2x(3x + 1) - (3x + 1)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $P$ et $Q$ sous forme d'un produit de facteurs.
\item Soit la fonction $f = \dfrac PQ$.

Déterminer l'ensemble $\mathcal{D}$ dans lequel la fonction $f$ est définie.
\item Déterminer $x$, quand c'est possible, pour que l'on ait
\begin{center}$f(x) = \dfrac12$\quad  et \quad $f(x) = \dfrac57$.\end{center}
\item Tracer dans un repère orthonormé \Oij{} les représentations graphiques des fonctions $g$ et $h$ définies par 
\begin{center}$g(x) = 2x - 6$ \quad et \quad $ h(x) = 5x - 3$.\end{center}

Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection A ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un repère orthonormé \Oij, on donne les points A, B et C de coordonnées
\begin{center}A(1~;~1),\quad B(2~;~3)\quad  et \quad C$(2~;~- 1)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les composantes du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que les bipoints (A, B) et (C, D) soient équipollents.

En déduire la nature du quadruplet (A, B, D, C).
\item Soit le point E tel que $\vect{\text{AD}} = 2\vect{\text{AE}}$.

Déterminer les coordonnées du point E et la norme du vecteur $\vect{\text{CE}}$.
\item Soit $(\mathcal{C})$ le cercle de centre C, de rayon $r =d$(C, D).

Montrer que A appartient au cercle $(\mathcal{C})$.
\item Quelle est la nature du triangle (A, E, C) ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\end{document}