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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Sénégal septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Soit l'expression
\[E(x) =(3x - 1)(2x + 5) + (5x + 4)(3x - 1) - 9x^2 + 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $E(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné.
\item Mettre $E(x)$ sous forme d'un produit de facteurs.
\item Pour quelles valeurs de $x$ ce produit est-il nul ?

Vérifier que le polynôme trouvé au 1. est nul pour ces valeurs de $x$.
\item Représenter sur le même graphique les fonctions 
\begin{center}$y = 3x - 1$ \qquad et\qquad $y = x + 2$.\end{center}
Calculer les coordonnées du point de rencontre des deux droites obtenues.

Vérifier sur le graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un cercle de centre O et un diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

Les tangentes en A et B au cercle coupent en C et D respectivement la tangente en un point quelconque, M, de ce cercle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?

Montrer que CD = AC $+$ BD.
\item I étant le milieu de [CD], E la projection orthogonale de C sur (BD), montrer que les triangles OMI et CDE sont semblables.

Évaluer leur rapport de similitude.
\item On suppose que BD $= 2$ AC et l'on désigne par H la projection orthogonale de M sur (AB).

Évaluer HA, HB, HM en fonction de $R$.

Construire la figure dans ce cas, en prenant $R = 3$~cm.
\end{enumerate}
\end{document}