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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Stockholm}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Stockholm juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer la somme 

\[\dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{2x^2 + 2x} + \dfrac{1}{x^3 + x^2}.\]

\item Calculer l'expression

\[y = x(x + 1) \left(\dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{2x^2 + 2x} + \dfrac{1}{x^3 + x^2}\right).\]
et représenter graphiquement le résultat obtenu.
\item Pour quelle valeur de $x$ cette fonction est-elle
égale à $x + \dfrac12$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne deux cercles, $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon $R$ et $\mathcal{C}'$ de centre O$'$ et de rayon $R'$, se coupant aux points P et Q.

Par P{}, on mène une tangente à $\mathcal{C}$ coupant $\mathcal{C}'$ en un deuxième point, A, et par Q une parallèle à (PA) coupant $\mathcal{C}$ en B et $\mathcal{C}'$ en D.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-1.2)(1.4,1.2)
%\psgrid
\pscircle(0,0){1.1}\pscircle(-1.4,0){0.7}
\psline(-0.97,-0.56)(0.6,0.9)%PA
\psline(-2,-0.4)(-0.42,0.99)%BQD
\psdots[dotscale=0.75](0,0)(-1.4,0)
\uput[ul](-1.2,0.6){\footnotesize $\mathcal{C}$} \uput[dl](-2,-0.4){\footnotesize B} 
\uput[d](-1.4,0){\footnotesize O}\uput[u](-0.96,0.56){\footnotesize Q} 
\uput[u](-0.42,0.99){\footnotesize D} \uput[d](-0.97,-0.56){\footnotesize P}
\uput[d](0,0){\footnotesize O$'$} \uput[ur](0.6,0.9){\footnotesize A} 
\uput[dr](0.9,-0.5){\footnotesize $\mathcal{C}'$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les angles $\widehat{\text{PAO}}$ et $\widehat{\text{PQD}}$, d'une part, et les angles $\widehat{\text{PAD}}$ et $\widehat{\text{PQB}}$, d'autre part.
\item Soit M le point d'intersection des droites (OP) et (QB).

Que peut-on dire du segment de droite [PM] et du triangle BPQ ?
\item Quelle est la nature du quadrilatère PADB ?
\item Que devient ce quadrilatère dans le cas où
\[R = R' = \text{OO}'\:?\]
\end{enumerate}
\end{document}