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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Stockholm juin 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire, dans un système d'axes rectangulaires,
en prenant $1$~cm pour unité, les trois droites suivantes :

\begin{center} $(A)$, d'équation $y- 2x + 2 = 0$ ;

$(B)$, d'équation $3y - x - 4 = 0$ ;

$(C)$, d'équation $y + 3x - 8 = 0$,\end{center}
\item Ces droites sont concourantes en P{}.

Quelles sont les coordonnées de P ?

Quelle particularité présentent deux de ces droites ? Pouvait-on le prévoir ?
\item On joint P au point Q d'abscisse 0 et d'ordonnée 3.

Quelle est l'équation de la droite PQ ?
\item Les droites $(A), (B)$ et $(C)$ coupent respectivement l'axe des $y$ en A$'$, B$'$ et C$'$.

Calculer l'ordonnée du milieu, M, de [B$'$C$'$] et vérifier relation 
\[\overline{\text{MB}'} \cdot  \overline{\text{MC}'} + \overline{\text{MA}'} \cdot \overline{\text{MQ}} = 0.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC, rectangle en A, tel que AB $= 3a$, AC $= 4a$, $a$ étant une longueur donnée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur du  côté [BC] du triangle ABC et la longueur de la médiane [AO] issue de A.
\item On projette orthogonalement B en B$'$ et C en C$'$ sur la perpendiculaire en A à la médiane [AO].

Montrer que les droites (CA) et (BA) sont respectivement les bissectrices des angles $\widehat{\text{BCC}'}$ et $\widehat{\text{CBB}'}$.
\item Démontrer que les triangles ACC$'$ et ABB$'$ sont semblables.

Calculer le rapport de similitude.
\end{enumerate}
\end{document}