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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Strasbourg}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On donne la fonction
\[\begin{array}{l c l l}
f:&\R&\to&\R,\\
&x&\longmapsto&f(x) = -\dfrac x2 + 5.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(2), \quad f\left(\dfrac43\right)$,\quad et \quad $f\left(\sqrt 3 - \sqrt 2\right)$.
\item Sachant que

\begin{center}$1,414 \leqslant \sqrt 2 < 1,415$\quad  et \quad $1,732 \leqslant \sqrt 3 < 1,733$,\end{center}

donner un encadrement du nombre réel 
\[a = \dfrac{10 - \sqrt 3 + \sqrt 2}{2}.\]

En déduire la valeur approchée par défaut de $a$ à $10^{-2}$ près.
\item Trouver l'antécédent par $f$ de $0$.
\item Montrer que les nombres réels $f(2\pi - 5)$ et $2f(\pi) - f(5)$ sont égaux.

De façon générale, montrer que, quels que soient les nombres réels $a$ et $b$, on a 
\[f(2a - b) = 2 f(a) - f(b).\]
\item Représenter graphiquement la fonction $f$ ainsi que la fonction $g$ définie par
\[\begin{array}{l c l l}
g:&\R&\to&\R,\\
&x&\longmapsto&g(x) = -\dfrac 32 x  - 1,
\end{array}\]

puis résoudre graphiquement l'équation $f(x) = g(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans un repère orthonormé \Oij{} du plan euclidien, on donne la droite $(d)$ d'équation
$x + y - 3  = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver les coordonnées de A et B, points communs respectifs de $(d)$ avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
\item C désigne le point tel que $\vect{\text{OC}} = - 3\vect{\imath}$. Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ?

Justifier.
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que 
\[\vect{\text{CD}} = \vect{\text{AB}}.\]

Démontrer que (A, B, D, C) est un parallélogramme. Soit E son centre.
\item On considère la symétrie orthogonale $S$ d'axe la droite $(\Delta)$ support du segment [AD]. 

Par $S$, B a pour image B$'$, C a pour image C$'$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que E, C$'$, B$'$ sont alignés et que EC = EC$'$ = EB = EB$'$.
		\item En déduire que (C$'$, B, B$'$, C) est un rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B.} - En algèbre toutes les questions sont indépendantes. Pour la géométrie faire une figure soignée illustrant toutes les données.
\end{document}