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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Strasbourg juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Donner le développement de 
\[(x+ 2)^2.\]

Ordonner le polynôme obtenu suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Effectuer le produit : 

\[(x -1)\left(x^2 + 4x + 4\right).\]

\item Utiliser le résultat obtenu : 
	\begin{enumerate}
		\item pour résoudre l'équation
\[x^3 + 3x^2 - 4 = 0 ;\]

		\item pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles le produit $x^2(x + 3)$ est égal à $4$ ;
		\item pour trouver la valeur numérique du polynôme
\[x^3 + 3x^2 - 4\]

pour $x = \np{99998}$.

Énoncer le nombre obtenu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

\begin{minipage}{0.44\linewidth}
On donne un triangle ABC et le milieu O du côté [BC].

Une parallèle variable à la médiane [AO] rencontre [AB] et [AC] ou leurs prolongements respectivement en M et N.

Soit D le symétrique de A par rapport à O.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.46\linewidth}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-1.1,-1.4)(1.1,2.2)
%\psgrid
\pspolygon(-0.9,0)(0.9,0)(-0.4,1.1)%BCA
\psline(-0.4,1.1)(0.4,-1.1)(-0.9,0)%ADB
\psline(-0.15,2.2)(0.56,0.3)%MN
\psline(-0.4,1.1)(-0.05,1.9)%AM
\psline(-0.4,1.1)(0.265,1.1)%AI
\uput[ul](-0.4,1.1){A} \uput[dl](-0.9,0){B} \uput[dr](0.9,0){C} \uput[d](0.4,-1.1){D}
\uput[r](0.265,1.1){I} \uput[ur](-0.05,1.9){M} \uput[ur](0.58,0.28){N} \uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles MAN et ABD sont semblables.
\item En déduire la similitude des triangles MAI et ABO, I étant le milieu de [MN].

Montrer que le lieu géométrique de I quand la droite MN se déplace en restant parallèle à (AO) est une droite $x'x$ dont on indiquera la position.
\item Inversement, I étant un point quelconque de $x'x$, la parallèle à AO menée par I rencontre [AB] et [AC] ou leurs prolongements respectivement en M et N.

Montrer que I est le milieu de [MN].
\item Construire [MN], sachant que MN $= 2\ell$,\: $\ell$ étant une longueur donnée.
\end{enumerate}
\end{document}