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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Strasbourg}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Strasbourg juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Un capital de \np{178200}~F est employé à l'acquisition de deux jardins rectangulaires au prix uniforme de \np{3600}~F l'are. On sait :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] que le premier jardin a coûté \np{11880}~F de plus que le deuxième ;
\item[$\bullet~~$] que sa largeur surpasse celle du deuxième jardin de $13$ mètres et que sa longueur est les $\dfrac56$ de celle du deuxième.
\end{itemize}
Trouver

\medskip

\begin{enumerate}
\item le prix d'achat de chaque jardin ; 
\item l'aire de chaque jardin ;
\item les dimensions de chaque jardin.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ et sa tangente en B.

Une droite passant par A coupe le cercle $\mathcal{C}$ en A et C et la tangente en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles ABC et ADB.

Montrer que

\[\overline{\text{AC}}  \cdot \overline{\text{AD}} = 4R^2.\]
\item Calculer en fonction de $R$ la longueur du segment
[CD] dans le cas où $\widehat{\text{BAC}} = 45\degres$  et dans le cas où
$\widehat{\text{BAC}} = 30\degres$.
\item L'angle $\widehat{\text{BAC}} $ ayant une valeur quelconque, on considère le cercle passant par C et tangent en D à la droite (BD).

Construire ce cercle et montrer qu'il est aussi tangent au cercle donné $\mathcal{C}$.

Démontrer que, si la sécante $D$ pivote autour du point fixe A, les points de contact T, T$'$, des tangentes menées de A à ce cercle se déplacent sur un cercle fixe.
\end{enumerate}
\end{document}