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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Strasbourg}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Strasbourg}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement le système 
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)\qquad \qquad& 2x + \phantom{2}y&=& 4,\\
(2) \qquad  \qquad&\phantom{2}x+2y &=& 8.
\end{array}\right.\]

Vérifier par le calcul les résultats obtenus graphiquement.
\item Les droites $D_1$ et $D_2$ représentant respectivement les équations (1) et (2) du système donné se coupent en A.

On désigne par B et C les points d'intersection de l'axe O$x$ avec $D_1$ et $D_2$.

Vérifier la relation
\begin{center}OA$^2=$ OB $\cdot$ OC. \end{center}

Que peut-on dire du cercle circonscrit au triangle ABC ?
\item Former l'équation de la perpendiculaire à $D_2$ passant par B ?

Cette droite coupe l'axe $yy'$ au point E.

Que représente le point E pour le triangle ABC ?
\item Calculer l'aire du triangle ABC.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient [AE] un diamètre d'un cercle $(\mathcal{C})$ de rayon $R$, [BC] une corde perpendiculaire à (AE) au point D milieu de [AO].

Une sécante issue de A coupe (BC) en M et le cercle en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ADM et ANE sont semblables et en déduire que $R$ est moyenne géométrique entre AM et AN.
\item Montrer que le quadrilatère MDEN est inscriptible dans un cercle de centre I.

Déterminer avec précision le lieu du point I quand AM pivote autour
de A.
\item Dans le cas où AM $= \dfrac{2R}{3}$, calculer MD, MN et ME en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}