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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Strasbourg}
\lfoot{\small juin 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg juin 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système d'équations suivant : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
5x - 12y 7&=& 0,\\
x - y&=&2;
\end{array}\right.\]
\item Calculer $y$ en fonction de $x$ dans chacune des équations précédentes et construire les graphes des fonctions obtenues.

Retrouver graphiquement la solution du système proposé au 1.
\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs chacune des expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A &=& 25x^2 - 120xy + 144y^2,\\
B &=& \left(2x^3 + 2x\right) - \left(2x^2y + 2y\right) - 7x^2 - 7.
\end{array}\]
Montrer que le couple de valeurs de $x$ et $y$, solution du système proposé au 1. est celui pour lequel les expressions $A$ et $B$ sont simultanément nulles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un triangle ABC, rectangle en A, inscrit dans un cercle de centre O.

Soit D le point d'intersection du côté [BC] avec la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{A}}$.

(AD) recoupe Je cercle en F{}. On prolonge le côté [BA] d'une longueur AE = AC.

Soit H la projection orthogonale de A sur (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ADC et BDF sont semblables.
\item Évaluer les angles du triangle ACE.

Montrer que (AD) et (EC) sont parallèles ; en déduire
 que $\dfrac{\text{BD}}{\text{DC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$.
\item Calculer les longueurs des côtés [AB] et [AC] du triangle ABC, sachant que
\begin{center}AB $+$ AC $= 21$~cm et que $\dfrac{\text{BD}}{\text{DC}} = \dfrac43$.\end{center}

\item Calculer les longueurs BC et AH ainsi que le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
\item Quelle est la puissance du point E par rapport au cercle circonscrit au triangle ABC ?

En déduire la longueur du segment [OE], à $0,01$~cm près.
\end{enumerate}

\textbf{N. B. -} La question 1. est indépendante des autres.
\end{document}