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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Strasbourg juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

\textbf{I}

\medskip

Simplifier l'expression $\dfrac{11a^2 + 11ab}{\phantom{1}5ab + \phantom{1}5b^2}$.

\smallskip

\textbf{II}

\medskip

Effectuer el simplifier, s'il y a lieu,
\[\dfrac{1}{x^2 +x} + \dfrac{x}{x - 1} - \dfrac{2}{x^2 - 1} - 1.\]

\smallskip

\textbf{III}

\medskip

Soit l'expression

\[E(x) = (x - 3)^2 + x^2 - 9 -  (2x + 1)(3 - x).\]

\begin{enumerate}
\item Effectuer, réduire et ordonner l'expression $E(x)$ par
rapport aux puissances décroissantes de $x$.
\item Factoriser l'expression $E(x)$.
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on :
	\begin{enumerate}
		\item $E(x) > 4x^2 + 19$ ;
		\item $E(x) = x - 3$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip



Soit une demi-circonférence $(L)$ de diamètre [AB] tel que 
AB $= 8$ cm et de centre O.

Soit [OC] le rayon perpendiculaire à [AB].

Soit I un point quelconque du rayon [OC].

La droite (AI) coupe $(L)$ en M.

Soit H la projection de M sur (AB).

Enfin la droite (BM) coupe la droite (OC) en K.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que AI $\cdot$ AM = AO $\cdot$ AB et en déduire la valeur numérique du produit 

AI $\cdot$ AM.
\item Démontrer que OI $\cdot$ OK = OA $\cdot$ OB et en déduire la valeur numérique du produit 

OI $\cdot$ OK.
\item On suppose maintenant OI $= 3$ cm.

Calculer, dans ces conditions, les longueurs OK, AI, AM, MH.
\item Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{OKB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}