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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Strasbourg}
\lfoot{\small juin 1967}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $(x - a)^2$.

En déduire quel nombre il faut ajouter au polynôme $x^2 - 6x$ pour obtenir un carré d'un binôme du premier degré en $x$.

Quel est ce binôme ? Utiliser le résultat précédent pour factoriser
\[E(x) = x^2 - 6x + 5.\]
\item Simplifier la fraction rationnelle
\[F(x) =  \dfrac{E(x)}{(x- 1)^2 - (1 - x)(x + 2)}.\]

On désigne par $F'(x)$ la fraction simplifiée.
\item Trouver les valeurs numériques de $F'(x)$ pour
\begin{center}$x = 5$\qquad  et \qquad  $x = \sqrt 2$\end{center}
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $F'(x) = 1$ ?
\item  Représenter graphiquement les fonctions
\begin{center}$y_1 = x - 5$\qquad  et \qquad  $y_2 = 2x + 1$.\end{center}

Retrouver au moyen de ce graphique la valeur de $x$ telle que $F'(x) = 1$. (Justifier votre réponse.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère un trapèze rectangle en A et en D ; le côté [AD] a la même longueur que la  base [AB] et l'angle $\widehat{\text{DBC}}$ est droit.

On désigne par $a$ la longueur commune de segments [AB] et [AD], par H le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle DBC est isocèle.
\item Calculer, en fonction de $a$, les longueurs des côtés [BC] et [CD] et des diagonales [AC] et [BD].
\item Calculer les rapports $\dfrac{\text{HA}}{\text{HC}}$ et $\dfrac{\text{HB}}{\text{HD}}$ et les longueurs des segments HA, HC, HB et HD.
\item On mène par H la parallèle aux bases du trapèze, qui coupe (AD) en M et (BC) en N.

Calculer, en fonction de $a$, les longueurs des segments [HM] et [HN].

Que représente H pour le segment [MN] ?
\end{enumerate}
\end{document}