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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Strasbourg}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Strasbourg juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les polynômes
\[\begin{array}{l c l}
A(x)  &=& (3x - 5)^2 - (x - 2)^2 \quad \text{et}\\
B(x)  &=& (4x - 7)^2 + (4x - 7)(1 - 5x).
\end{array}\]

\item Résoudre les équations 
\begin{center}A(x) = 0\qquad  et\qquad  B(x) = 0.\end{center}

\item Pour quelles valeurs de $x$ la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ est-elle calculable ?

Simplifier cette fraction. Soit $\dfrac{A'(x)}{B'(x)}$ la fraction obtenue.
\item Résoudre l'équation $\dfrac{A'(x)}{B'(x)} = 1$.
\item Retrouver graphiquement, en expliquant la méthode adoptée, les résultats de la question précédente.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère un triangle ABC rectangle en A et dont l'angle $\widehat{\text{C}}$ vaut $30\degres$.

La bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ coupe [AC] en D.
 
 Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BDC}}$.

\item On pose AD $= a$.

Calculer BD, AB, BC et DC en fonction de $a$.
\item Démontrer que AB$^2 =$ AD $ \cdot $ AC.
\item Préciser la position de la droite (AB) par rapport au cercle circonscrit au triangle BDC.
\item Soit B$'$ le symétrique de B par rapport à la droite (AC).

Démontrer que B$'$ est l'orthocentre du triangle DBC.
\end{enumerate}
\end{document}