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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Strasbourg}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Strasbourg juin 1971~\decofourright}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\bigskip

On donne les expressions :

\[A(x) = \left(x^2- 9y^2\right)(2x + y)\]

\[B(x) = (x + 3y)\left(4x^2 - y^2\right).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre chaque expression sous la forme d'un produit de trois facteurs du premier degré.
\item Simplifier la fraction rationnelle $F = \dfrac{A(x)}{B(x)}.$

Calculer la valeur numérique de $F(x)$ pour $x = \sqrt{7}$,\,  $y = 7$.

Exprimer le résultat avec un dénominateur rationnel.
\item Représenter graphiquement les fonctions définies par les équations:

\[\left\{\begin{array}{r c l}
x - 3y	 &=&6\\
- 3x - y &=& 1
\end{array}\right.\]

(Repère orthonormé -- unité 2~cm)

\item Les droites D$_1$ et D$_2$ représentant ces fonctions se coupent en P. 

Trouver une propriété de ces droites et calculer les coordonnées de P.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

On donne un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ et de centre O.

Soit P le point de la droite (AB) tel que PA $= 2R$ et P distinct de B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par P, mener la tangente (PC) qui touche le demi-cercle en C.

Indiquer nettement sur la figure la construction utilisée.

Calculer PC en fonction de $R$.
\item En A et B on mène les tangentes A$x$ et B$y$ au demi-cercle qui coupent (P)C respectivement en D et en E.

Démontrer que le quadrilatère OCEB est inscriptible. 

En déduire que $\text{PC} \cdot  \text{PE} = 12\text{R}^2$, puis calculer PE en fonction de R.
\item Donner la nature du triangle DOE.

En déduire que : $\text{CD} \cdot \text{CE} = \text{AD} \cdot \text{BE} = \text{R}^2$.
\item Montrer que les triangles PDO et POE sont semblables ; prouver que : 

$\text{PO}^2 = \overline{\text{PD}} \cdot \overline{\text{PE}}$.

En déduire que (PO) est tangente en O au cercle de diamètre [DE].
\end{enumerate}
\end{document}