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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rfoot{\small{juin 1972}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Strasbourg juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne le système d'équations suivant:

\[\left\{\begin{array}{l r c l}
(1)& 2x + 3y &=& 13,\\
(2)& 2y &=& 3x.
\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système proposé.
\item Écrire les équations (1) et (2) sous la forme $y = ax + b$.

Les équations ainsi obtenues sont les équations respectives des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ que l'on construira dans un repère orthonormé $x'\text{O}x,~y'\text{O}y$. (Choisir le centimètre comme unité de longueur sur chaque axe.)
\item Soit P le point d'intersection des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ; calculer ses coordonnées.
\item La droite $\left(D_1\right)$ coupe $x'x$ en A et $y'y$ en B.

Calculer les coordonnées de A et de B,
\item Calculer OA$^2$, OP$^2$ et PA$^2$.

En déduire la nature du triangle (OPA).

Que peut-on en conclure pour les directions de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ?

Ce résultat pouvait-il être trouvé autrement ?

Comment ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de centre O et de rayon $R$, dont on considère un diamètre [AB].

Du point B on mène la tangente à ce cercle et l'on considère sur cette tangente un point M tel que BM $= R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item (AM) recoupe le cercle en P{}.

Calculer, en fonction de $R$, les longueurs des segments [AM], [PM], [PB] et [AP].
\item Du point O on mène la parallèle à (BM), qui coupe la droite (AP) en I et l'arc $\wideparen{\text{AB}}$, ne contenant pas P, en Q.

Comparer les triangles (AOI) et (ABM).

Calculer alors les longueurs des segments [OI] et [AI].

En déduire les longueurs de [IQ] et de [IP].
\item La droite (QP) coupe la droite (BM) en S.

Comparer les triangles (PSM) et (PQI).

En déduire la longueur de [MS].
\item Que représente (PQ) pour le triangle (APB) ?

La droite (PQ) coupe (AB) en E. Évaluer le rapport $\dfrac{\text{EA}}{\text{EB}}$·
\end{enumerate}
\end{document}