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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Strasbourg}}
\rfoot{\small{juin 1974}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Strasbourg juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne la fonction polynôme $A$ définie dans $\R$ par 
\[A(x) = x^2 - 25- (10x - 1)(x - 5).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A(x)$ sous forme d'un produit de deux polynômes du premier degré.
\item Soit la fonction rationnelle $E$ définie dans $\R$ par
\[E(x) = \dfrac{x^2 - 25 - (1Ox - 1)(x - 5)}{3x^2 - 30x + 75}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}$, de $E$.
		\item Simplifier $E(x)$.
		\item Déterminer l'ensemble des nombres réels tels que
$E(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\item Dans le plan rapporté au repère cartésien \Oij, construire les représentations graphiques $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ des fonctions affines $f_1$ et $f_2$ définies par

\[\begin{array}{l l c l}
f_1 :& \R&\to &\R,\\
&x&\longmapsto&f_1(x) = - 3x+2 ;\\
f 2 :& \R&\to &\R,\\
&x&\longmapsto&f_2(x) = x - 5.
\end{array}\]

\item Calculer les coordonnées du point M tel que $\left(D_1\right) \cap \left(D_2\right) = \{\text{M}\}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan $(P)$ rapporté au repère orthonormé \Oij, les points A, B et C sont tels que
\begin{center}
$\vect{\text{OA}} = 6\vect{\imath} - 2\vect{\imath},\quad \vect{\text{OB}} = -3\vect{\imath} - 5\vect{\imath}$,\quad et \quad  $\vect{\text{OC}} = 3\vect{\imath} + 7\vect{\imath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les composantes des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
\item Calculer la mesure des segments [AB], [AC] et [BC].
\item En déduire que le triangle (A, B, C) est rectangle isocèle.
\item Soit I le milieu du segment [BC]. Calculer ses coordonnées.
\item Soit D le point du plan tel que le point I soit le milieu du segment [AD].

Calculer les coordonnées du point D.
\item Quelle est la nature du quadruplet de points (A, B, D, C) ?
\end{enumerate}
\end{document}