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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Strasbourg juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par : 
\[f(x) = 16 - 8x +x^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x)$ est le carré d'un polynôme du premier degré.
\item Calculer les nombres $f\left(\dfrac12\right),\:f(0,2),\: f\left(\dfrac23\right),\: f\left(10^9\right)$ et dire lesquels sont décimaux, rationnels non décimaux.
\item Soit $g$ l'application définie par:
\[\begin{array}{l l c l}
g :&\R&\to&\R^{+}\\
&x &\longmapsto&\sqrt{f(x)}
\end{array}\]


($\R^{+}$ désigne l'ensemble des réels positifs).

Calculer $g(6),\:g(- 2),\: g(0),\:g(4)$ et donner une écriture de $g(x)$ sans utiliser
le symbole $\sqrt{\phantom{a}}$.
\item Le plan étant rapporté au repère orthonormé \Oij, représenter graphiquement la fonction $g$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation:
\[|4 - x| = 7.\]
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

Le plan étant rapporté au repère orthonormé \Oij, on considère
les points dont les coordonnées sont 
\begin{center}A(3~;~1),\quad  B$(5~;~-3)$,\quad C (1~;~- 7),\quad 
D$(-2~;~-4)$,\quad P$(-5~;~17)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points A, B, P sont alignés et que $d$(P{}, A)$ = 4d$(A, B) (la notation $d$(A, B) désigne la distance du point A au point B).
\item Montrer que les droites (BD) et (PB) sont orthogonales.
\item Les droites (AD) et (BC) sont-elles parallèles ?
\item Soit B$'$ le point symétrique du point P pa-r rapport à D.

Quelles sont les coordonnées de B$'$ ?

\item Le point A' est déterminé par :
\[5\vect{\text{BC}} = \vect{\text{BA}'}.\]

Déterminer les coordonnées du point A$'$.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Remarque :\\
Ce problème est inspiré de l'examen d'une carte du ciel :\\
\begin{itemize}
\item {\rm A, B, C, D} représentent les étoiles du chariot de la Grande Ourse
\item {\rm P} représente l'étoile Polaire
\item {\rm B}$'$ représente une étoile de la constellation du Lion
\item {\rm A}$'$ représente l'étoile Arcturus de la constellation du Bouvier.
\end{itemize}
}
\end{document}