\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Strasbourg juin 1977},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Strasbourg}
\lfoot{\small juin 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit les fonctions polynômes, de $\R$ dans $\R$,\: $f$ et $g$ définies par : 
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& 9x^2 - 16 - x(3x -4)\\
g(x) &=& x^2 + 4x + 4
\end{array}\]

\smallskip

\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item On considère la fonction rationnelle $h$ définie pour tout réel $x$ différent de
$(-2)$ par : $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier $h(x)$.
		\item Calculer $h\left(\sqrt 3\right)$ et démontrer qu'il existe deux nombres entiers $a$ et $b$ que l'on calculera tels que: 
		\[h\left(\sqrt 3\right) = a\sqrt 3 + b.\]
		\item Sachant que $1,732 < \sqrt 33 < 1,733$,encadrer par deux entiers consécutifs $10h\left(\sqrt 3\right)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre les équations $h(x) = 0$ et $h(x) = 1$.
\item Représenter graphiquement dans un repère orthonormé \Oij{} les fonctions:
\[\begin{array}{l l c l}
k:& \R&\to&\R\\
	&x&\longmapsto&k(x) = 2 (3x - 4)
	\end{array}\quad 
\begin{array}{l l c l}
\ell :	& \R&\to		&\R\\
	&x	&\longmapsto&\ell(x) = x + 2
	\end{array}\]

Calculer les coordonnées du point d'intersection des représentations graphiques des fonctions $k$ et $\ell$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les
points :
\begin{center}A(2~;~0),\quad B$(4~;~-2)$\quad  et \quad C$(-1~;~3)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ dans la base $\left(\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$ en
déduire que les points A, B, C sont alignés.
\item Calculer les coordonnées du point D tel que le quadruplet (O, B, D, C) soit un parallélogramme (c'est-à-dire tel que $\vect{\text{BD}} = \vect{\text{OC}}$).
\item Calculer les distances $d$(O, C) et $d$(O, D).

Démontrer que le triangle (O, D, C) est rectangle isocèle.
\item Soit I le milieu de (C, D) ; démontrer que le triangle (O, I, A) est isocèle
et que les quatre points C, O, A, D appartiennent à un même cercle dont on
précisera le centre et le rayon.

Démontrer que la droite (OB) est tangente en O à ce cercle.
\item Soit M le centre du parallélogramme (O, B, D, C) ; calculer la tangente
de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{OMC}}$.
\end{enumerate}
\end{document}