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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Strasbourg}
\lfoot{\small juin 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(10.2,11)
%\psgrid
\psframe(1,0.2)(9.8,9)
\pspolygon[fillstyle=hlines](1,0.2)(9.8,0.2)(9.8,9)(7.2,9)(7.2,2.8)(1,2.8)%FEBMND
\uput[ul](1,9){A} \uput[ur](9.8,9){B} \uput[r](9.8,2.8){C} \uput[l](1,2.8){D}
\uput[dr](9.8,0.2){E} \uput[dl](1,0.2){F} \uput[u](7.2,9){M} \uput[ul](7.2,2.8){N}
\psline(7.2,0.2)(7.2,2.8)(9.8,2.8)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1,9.6)(9.8,9.6)\uput[u](5.4,9.6){$a$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.3,2.8)(0.3,9)\uput[l](0.3,5.9){$b$}
\end{pspicture}
\end{center}

Sur la figure précédente, ABEF et AMND sont des carrés. 

On pose AB $= a$ et AD $= b$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $a$ et $b$ :
	\begin{enumerate}
		\item la longueur MB,
		\item le périmètre du rectangle ABCD,
		\item l'aire du carré ABEF,
		\item l'aire du carré AMND,
		\item l'aire de la surface hachurée,
		\item le périmètre de la surface hachurée.
\end{enumerate}
\item Calculer les valeurs numériques des expressions :

$a - b ;\quad 2(a + b);\quad a^2;\quad b^2;\quad (a + b)(a - b)$ dans chacun des cas suivants :

	\begin{enumerate}
		\item $a = \dfrac54$\quad et $b = \dfrac{7}{10}$.
		\item $a = \sqrt{45}$ et $b =2\sqrt 5 - 1$.
	\end{enumerate}
\item Sachant que $b = 12\sqrt 2$, déterminer la valeur de $a$ pour que l'aire du carré AMND soit égale à la moitié de l'aire du carré ABEF.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

Soit [AD] un segment de longueur $6$~cm ; sur la droite perpendiculaire en O à [AD], de part et d'autre de O, on considère les points :
\begin{description}
\item[ ] B tel que $\widehat{\text{OAB}} = 45\degres$
\item[ ] C tel que OC $= 2\sqrt 3$ cm.
\end{description}

Le cercle de diamètre [AO] coupe [AB] en D et [AC] en E. 

On note H son centre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure.
(On prendra $\sqrt 3 \approx 1,7$ pour placer le point C.)
\item Quelle est la nature des triangles AOB et AOD ? (Justifier.)

Montrer que D est le milieu de [AB].

Calculer AB.
\item Quelle est la nature du triangle AOE ?
\item Calculer $\tan \widehat{\text{OAC}}$ (tangente de l'angle $\widehat{\text{OAC}}$ ;). 

Utiliser la table (ci-dessous) pour trouver la mesure en degrés de l'angle 
$\widehat{\text{OAC}}$.

Dans le triangle OAE déterminer $\sin \widehat{\text{OAE}}$ puis OE. 

Démontrer que le triangle OHE est équilatéral.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2.1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&0\degres	&30\degres 				&45\degres 				&60\degres 				&90\degres\\ \hline
Sinus	&0			&$\dfrac12$				&$\dfrac{\sqrt 2}{2}$	&$\dfrac{\sqrt 3}{2}$	&1\\ \hline
Cosinus	&0			&$\dfrac{\sqrt 3}{2}$	&$\dfrac{\sqrt 2}{2}$	&$\dfrac12$				&0\\ \hline
Tangente&0			&$\dfrac{\sqrt 3}{3}$	&$1$					&$\sqrt 3$&\psline(-1,-0.25)(1,0.5)\psline(-1,0.5)(1,-0.25)\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les deux applications $f$ et $h$ dont les représentations graphiques sont respectivement les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ telles que :

\begin{itemize}
\item $\left(D_1\right)$ passe par les points de coordonnées (0~;~15) et (5~;~40).
\item $\left(D_2\right)$ passe par le point de coordonnées (0~;~46) et est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}

On prendra 2 cm comme unité en abscisses et 0,5 cm comme unité en ordonnées.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
		\item Lire sur le graphique $f(0), f(4), h(1), h(5)$.
		\item Placer sur le graphique les points A et B de $\left(D_1\right)$ d'ordonnées respectives 25 et 45; déterminer graphiquement leurs abscisses.
	\end{enumerate}	
\item En début d'année scolaire, Nicolas décide d'utiliser un classeur (un seul pour l'année) à $15$~F et des paquets de feuilles à $5$~F le paquet tandis que Caroline choisit des cahiers à $8,50$~F l'un. On suppose que Nicolas utilise annuellement autant de paquets de feuilles que Caroline de cahiers.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $x$ le nombre de paquets de feuilles ou de cahiers utilisés dans l'année (exprimer en fonction de $x$ la dépense annuelle de Nicolas on la note $f'(x)$ et celle de Caroline (on la note $g'(x)$.
		\item Construire les représentations graphiques $\left(D_3\right)$ et $\left(D_4\right)$ des fonctions $f'$ et $g'$ sur la même figure que $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
		
Quelle remarque peut-on faire ?
		\item Résoudre dans $\R$, l'équation $f'(x) = g'(x)$ ; sa solution a-t-elle un sens pour le problème ?
		\item Si Nicolas et Caroline possèdent $46$~F chacun, déterminer graphiquement le nombre maximum d'articles que chacun peut acheter.
		\item Préciser à l'aide du graphique, selon le choix de cahiers ou de paquets de feuilles utilisés, la solution la plus économique.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}