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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Strasbourg}
\lfoot{\small juin 1988}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan, on choisit un repère orthonormé \Oij{}
avec OI = OJ $= 1$~cm. 

Dans ce repère, placer les points A$(0~;~-0,6)$ et B(5~;~4,4).
\item On appelle $d_1$ la droite d'équation $y = x - 0,6$.

Montrer que A et B sont deux points de la droite $d_1$. Tracer la droite $d_1$.
\item Dans le même repère, construire la droite $d_2$ d'équation $y = 5 - x$.
\item On appelle E le point d'intersection des droites $d_1$ et $d_2$ ; lire graphiquement une valeur approchée des coordonnées du point E.
\item Résoudre le système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x - y&=&6\\
x+ y &=& 5.
\end{array}\right.\]

\item Les questions a, b, c ci-dessous doivent vous permettre de trouver deux nombres positifs $x$ et $y$ tels que
\[(S)\quad \left\{\begin{array}{l c l}
x \:>&y&>\: 0\\
x^2 + y^2 &=&12,68\\
xy&=&6,16.\\
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer $(x + y)^2$.
		
Calculer $(x + y)^2$ en utilisant les données de $(S)$.

En déduire la valeur de $x + y$.
		\item Développer $(x - y)^2$.
		
En déduire la valeur de $(x - y)^2$ puis celle de $x - y$.
		\item Utiliser les résultats précédents pour trouver les nombres $x$ et $y$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

On ne demande pas de construire cette figure.

Le quadrilatère ABCD représente un terrain à bâtir avec :

\begin{center}$\widehat{\text{A}} = 90\degres$,\quad AB $= 20$~m,\quad BD $= 25$~m,\quad 
BC $= 24$~m, \quad  CD $= 7$~m.\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(4.1,4.1)
\pspolygon(0.2,0.2)(3.8,0.2)(1,3.7)(0.2,2.7)%ABCD
\psline(3.8,0.2)(0.2,2.7)%BD
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[r](3.8,0.2){B} \uput[u](1,3.7){C} \uput[ul](0.2,2.7){D}
\uput[d](2,0.2){20~m}\rput{-40}(2,1.7){25~m}\rput{-55}(2.45,2.2){24~m}\rput{54}(0.56,3.5){7~m}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur AD.
\item Démontrer que le triangle BCD est rectangle en C.
\item Dans cette question les résultats seront arrondis au degré le plus proche.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABD}}$.
		\item Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{CBD}}$.
		\item En déduire une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOC}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On pourra utiliser cet extrait de table trigonométrique.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés &Sinus &Tangente &Cosinus\\ \hline
15&0,259&0,268&0,966\\ \hline
16&0,276&0,287&0,961\\ \hline
17&0,292&0,306&0,956\\ \hline
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ \hline
36&0,588&0,727&0,809\\ \hline
37&0,602&0,754&0,799\\ \hline
38&0,616&0,781&0,788\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

La figure sera faite sur une feuille séparée.

L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Choisir un point O dans la partie centrale de la feuille.

Tracer le cercle de centre O et de rayon 3~cm.

Placer un point A sur ce cercle.

Sur ce cercle construire les points B, C, D, E, F dans cet ordre et tels que 

AB = BC = CD = DE = EF = 3~cm.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de chacun des triangles OAB, OBC, OCD, ODE, OEF ?
		
On se contentera de justifier la réponse pour le triangle OAB.
		\item En déduire la mesure en degrés de chacun des angles de ces triangles.
		\item À l'aide de la question b., calculer la mesure en degré de l'angle $\widehat{\text{AOF}}$.
	\end{enumerate}
\item Compléter l'hexagone ABCDEF{}. (L'hexagone est un polygone à six côtés.)
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle AOF est équilatéral et en déduire la longueur du segment [AF].
		\item Quelle est la mesure de chacun des angles de l'hexagone tels $\widehat{\text{ABC}}, \:\widehat{\text{BCD}},\: \widehat{\text{CDE}}$ ?
		
On se contentera de justifier la réponse pour l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
	\end{enumerate}	
\item Construire l'image de l'hexagone ABCDEF dans la symétrie par rapport à la droite (AB). On appellera ABGHIJ l'hexagone image.
\item En A, on peut exactement intercaler un troisième hexagone dont [AF] et [AJ] sont deux côtés.

Expliquer pourquoi.
\end{enumerate}
\end{document}