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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%%%%%%%
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small Strasbourg}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg juin 1990 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer $x - 2y + z$, en détaillant les calculs, dans les deux cas suivants :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x = - 8\:\quad y = - 3\:\quad z = 4$.
\item $x = \dfrac43 \:;\quad  y = \dfrac16$ et $z = \dfrac27$.

On donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible, c'est-à-dire qu'on ne peut plus simplifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

À la terrasse d'une auberge, un groupe d'amis a consommé trois limonades et deux cafés. Ils ont payé $25$ francs.

À la table voisine, d'autres clients ont payé $26$ francs pour deux limonades et quatre cafés.

On veut déterminer, en francs, le prix $x$ d'une limonade et le prix $y$ d'un café.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire, en fonction de $x$ et de $y$, la dépense de chacun des deux groupes.
\item Résoudre le système d'équations obtenu et donner les prix
cherchés.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Au cours du trimestre, il y a déjà eu cinq contrôles de mathématiques, notés sur 20. 

À la veille du sixième et dernier devoir, deux élèves s'interrogent.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Jérôme a obtenu les résultats suivants: 12 ; 8 ; 9 ; 17 et 12.

Quelle sera sa moyenne trimestrielle s'il obtient 14 au dernier devoir ?
\item Sophie a obtenu les résultats suivants: 12,5 ; 13 ; 13 ; 9,5 et 15. 

Quelle note doit-elle obtenir au dernier devoir pour que sa moyenne trimestrielle soit 13 ? (présenter les calculs) 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

%fig

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4.5,2.6)
\pspolygon(0.5,0.2)(3.8,0.2)(3.8,2.1)%CAB
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,0.6)(3.6,2.5)\rput{31}(1.9,1.75){90~mm}
\psarc(0.5,0.2){0.5}{0}{33} \rput(1.5,0.5){$37\degres$}
\psframe(3.8,0.2)(3.6,0.4)
\uput[dr](3.8,0.2){A} \uput[ur](3.8,2.1){B} \uput[dl](0.5,0.2){C} 
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

Dans le triangle rectangle représenté ci-avant, on demande
de calculer, sans utiliser ni faire la figure :

\medskip

\begin{enumerate}
\item la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{B}}$ ;
\item la longueur du côté AB au millimètre près. (On donnera une
valeur arrondie à l'entier le plus proche.)

\emph{Remarques} : Les dimensions du triangle ne sont pas exactes sur
la figure. 

On pourra utiliser l'extrait de la table de trigonométrie ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés 	&cosinus&sinus&tangente\\ \hline
37		&0,799	&0,602&0,754\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le but du problème est de trouver un carré ayant même aire qu'un rectangle donné. La figure ci-dessous n'est pas à reproduire.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.8,3.8)
\psframe(2.8,0.5)(7.2,2.4)%DCBA
\psarc(4.1,0.5){3.1}{0}{180}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1,0)(2.8,0)\uput[u](1.9,0){3 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.8,0)(7.2,0)\uput[u](5,0){7 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(7.8,0.5)(7.8,2.3)\rput{90}(7.4,1.4){3~cm}
\psframe(2.8,0.5)(2.6,0.7)
\uput[l](2.8,2.4){A} \uput[u](7.2,2.4){B} \uput[dr](7.2,0.5){C} \uput[ur](2.8,0.5){D} 
\uput[ur](1,0.5){E} \uput[dr](2.8,3.3){F} 
\psframe[linestyle=dashed](0,0.5)(2.8,3.3)
\end{pspicture}
\end{center}

Le rectangle ABCD a 7 cm de longueur et 3 cm de largeur. Le segment [ED] mesure 3 cm.

La droite (DA) coupe le demi-cercle de diamètre [EC] en F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du rectangle ABCD.
\item Dessiner sur la copie le demi-cercle de diamètre [EC] et placer le point D en respectant les longueurs données.

Tracer le triangle EFC.
\item Démontrer que le triangle EFC est rectangle en F.
\item On appelle $x$ la longueur en centimètres du segment [FD].

$\bullet~$ Exprimer EF$^2$ et FC$^2$ en fonction de $x$.

$\bullet~$ En remarquant que EC$^2 = 100$ et en utilisant les résultats précédents, montrer que $x^2
 = 21$.
\item En conclure qu'un carré de côté FD a la même aire que le rectangle ABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2.5,-3)(2.5,2)
%\psgrid
\psframe(-2.3,-2.5)(1.1,-0.9)%face avant
\pspolygon(0,1.3)(-1.2,0.9)(-2.3,-0.9)(1.1,-0.9)(2.2,0.9)%SBADCS
\psline(-2.3,-0.9)(0,1.3)(1.1,-0.9)%ASD
\psline(0,1.3)(1.65,0)%SH
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-2.3,-2.9)(1.1,-2.9)\uput[u](-0.6,-2.9){8 m}
\psline[linestyle=dashed](-2.3,-0.9)(2.2,0.9)(-1.2,0.9)(1.1,-0.9)%ACBD
\psline[linestyle=dashed](0,1.3)(0,0)(1.65,0)%SOH
\psline(1.1,-2.5)(2.2,-0.9)(2.2,0.9)
\psframe(0,0)(0.2,0.2)
\psline(1.5,0.12)(1.6,0.25)(1.72,0.13)
\uput[l](-2.3,-0.9){A} \uput[ul](-1.2,0.9){B} \uput[dr](2.2,0.9){C} \uput[dr](1.1,-0.9){D} 
\uput[d](0,0){O} \uput[dr](1.65,0){H} \uput[u](0,1.3){S}
\end{pspicture}
\end{center}

Un particulier construit une maison constituée d'un parallélépipède à base carrée et d'un toit ayant la forme d'une pyramide régulière SABCD.

\textbf{Première partie}

\medskip

L'unité de longueur est le mètre.

La base de la maison a 8 mètres de côté.

La hauteur SO du toit mesure 3 mètres. On appelle H le milieu du segment CD ; on a donc OH = 4 m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le segment [SH] mesure 5 mètres.
\item Calculer, en m$^2$ l'aire du triangle SDC. 

En déduire l'aire totale de la toiture.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Pour réaliser cette toiture, deux entreprises sont contactées. L'entreprise TUILOR demande 200 F par mètre carré. L'entreprise BOTOIT demande \np{3500}~F de frais fixes et $165$~F
par mètre carré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour une toiture de 80 m$^2$, quelle est l'entreprise la moins chère ? (à justifier)
\item On considère un repère orthogonal.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer ce repère en respectant les indications suivantes :

- l'origine est en bas à gauche de la feuille ;

- l'axe des abscisses est dans le sens de la largeur de la feuille; 

- l'axe des ordonnées est dans le sens de la longueur de la feuille; 

- en abscisse, 1 cm représente 10 ; 

- en ordonnée, 1 cm représente 1 000.
		\item Puis tracer les droites $d_1$ et $d_2$ d'équations respectives : $y = 200x$ et $y = 165x + \np{3500}$.
		\item Utiliser le graphique pour déterminer à partir de quelle aire de toiture l'entreprise BOTOIT est la moins chère.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}