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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Strasbourg }
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous forme d'une fraction irréductible : 

\[A = \dfrac83 : 2\]

\item Développer : $B = (3x - 5)^2$.
\item Factoriser : $C = 9x^2 - 25$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ est un nombre relatif et $b$ l'entier positif le plus petit possible:

\[D =  3\sqrt{125} \times 2\sqrt{21} \times \sqrt{35}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre les équations:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac x5 = \dfrac23$.
\item $3 - 5 (3x - 1) = 17x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Plusieurs élèves se cotisent pour faire un cadeau à un ami qui est à l'hôpital.

Si chacun d'eux verse $61$~F{}, alors il manque $28$~F{}.

Mais si chacun d'eux verse $70$~F{}, alors il y a $35$~F de trop.

En appelant $x$ le nombre d'élèves et $y$ le prix du cadeau, calculer le nombre d'élèves et ce que chacun doit payer.

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC tel que AB $= 8$, \: AC $= 3,5$, \:  BC $= 7$.
\item On appelle E le point du segment [AC] tel que AE $= 2$.

Par E, on trace la parallèle à la droite (BC).

Elle coupe le segment [AB] en F.

Calculer les valeurs exactes des longueurs AF et EF{}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

M. Schmitt, géomètre, doit déterminer la largeur d'une rivière.
Voici le croquis qui figure sur son carnet.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(0,-0.5)(7,4.7)
%\psgrid
\pscurve[fillstyle=hlines,hatchangle=0,linecolor=blue](0,2.5)(2,3.9)(7,4.9)(7,2.4)(4.7,2.2)(2.1,0)(0,0)(0,2.5)
\pspolygon(2.18,3.96)(3.6,0.3)(5.5,1)%DBA
\uput[r](5.5,1){A} \uput[d](3.6,0.3){B} \uput[d](3.35,1){C} \uput[u](2.18,3.96){D}
\psline(5.5,1)(3.35,1)
\rput{22}(3.6,0.3){\psframe(0.2,0.2)}
\psarc(5.5,1){0.6}{180}{202}  \psarc(5.5,1){0.4}{142}{202}\psarc(5.5,1){0.35}{142}{202}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
AB $= 100$~m 						&$\widehat{\text{BAC}} = 22\degres$\\
$\widehat{\text{BAD}} = 60\degres$	&$\widehat{\text{ABD}} = 90\degres$\\
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur BC au dixième près.
\item Calculer la longueur BD au dixième près.
\item En déduire la largeur de la rivière à un mètre près.

On pourra se servir du tableau suivant  :
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés 	&Cos 		&Sin			&Tan\\ \hline
22 		&\np{0,9272}&\np{0,3746}	&\np{0,4040}\\ \hline
60 		&0,5		&\np{0,8660}	&\np{1,7321}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un verre de laboratoire a la forme d'un cône. Il mesure $15$~cm de haut et $10$~cm de diamètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer son volume au cm$^3$ près.
\item Exprimer le résultat précédent en centilitres.
\end{enumerate}

(On rappelle la formule: $V = \dfrac13 b \times h$.)

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.2)(10.2,4.6)
%\psgrid
\psline(0,0.2)(10,0.2)
\psline(0.6,0.2)(4.2,4)(7.1,4)(10,0.2)(4.2,0.2)(4.2,4)%EDCBAD
%\pspolygon(2.18,3.96)(3.6,0.3)(5.5,1)%DBA
\uput[d](4.2,0.2){A} \uput[d](10,0.2){B} \uput[u](7.1,4){C} \uput[u](4.2,4){D}\uput[d](0.6,0.2){E}
\psframe(4.2,0.2)(4.4,0.4)%A
\psframe(4.2,4)(4.4,3.8)%D
\end{pspicture}
\end{center}

L'unité de longueur est le centimètre.

ABCD est un trapèze rectangle en A et D tel que: AB = 6, \quad DC = 3, \quad AD = 4.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La perpendiculaire à la droite (AB) passant par C coupe le segment [AB] en F.

Démontrer que le segment [BC] mesure $5$~cm.

Soit E un point de la droite (AB) tel que E, A et B soient dans cet ordre : E appartient à la demi-droite d'origine A ne contenant pas B.
\item Faire la figure lorsque EA $= \dfrac{15}{2}$.

Dans ce cas, calculer:
	\begin{enumerate}
		\item la longueur du segment [DE] ;
		\item le périmètre du trapèze EBCD ;
		\item l'aire du trapèze EBCD.
	\end{enumerate}	
\item Dans la suite du problème, E varie sur la droite (AB). 

Le point E appartient toujours à la demi-droite d'origine A ne contenant pas B.

On appelle $x$ la longueur du segment [EA] exprimée en centimètres.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'aire en cm$^2$ du trapèze EBCD s'exprime en fonction de $x$ par la relation :
		
\[A(x) = 18 + 2x.\]

		\item Représenter graphiquement l'aire de EBCD pour $x$ compris entre 0 et 10.
		
On prendra : en abscisse, 1~cm pour 1~cm ; en ordonnée, 1~cm pour 2cm$^2$.
		\item Lire sur le graphique au mm près la valeur de $x$ pour laquelle l'aire vaut $31,6$~cm$^2$.
		
Vérifier par le calcul.
		\item Comment retrouver à l'aide du graphique le résultat de la question 2. c. ?
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en fonction de $x$ l'aire du triangle EAD.
		\item Calculer $x$ pour que l'aire du trapèze EBCD soit le double
de l'aire du triangle EAD.
	\end{enumerate}
\item Comment compléter le graphique pour vérifier le résultat obtenu dans la question 4. ?
\end{enumerate}
\end{document}