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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small L'année 1994}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Strasbourg }
\lfoot{\small juin 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

Calculer et donner sous forme de fractions irréductibles :

\[A = \dfrac{21}{9} - \dfrac{10}{25} ; \qquad  B = \dfrac{10}{3} - \dfrac{2}{7} \times \dfrac{35}{6}.\]

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 3 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous la forme $a \sqrt b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres
entiers :

$C = 2 \sqrt{20} - \sqrt{45} + \sqrt{125}$.

\item Développer et réduire:

\[D = \left(5 + \sqrt{2}\right)^2.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 3 points}

\medskip

Soit l'expression $E = 6(4x - 5) - (4x - 5)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation

\[(4x - 5)(- 4x + 11) = 0.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 3 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne la répartition, selon l'activité économique
de la population active de la zone d'emploi de Wissembourg (Alsace).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Activités économiques	&Agriculture&Industrie&Bâtiment		&Tertiaire 	&Total\\ \hline
Effectifs				&940 		&\np{12946}	&\np{1840}	&\np{9836}	&\\ \hline 
Fréquences en \%		&			&			&			&			&100\\ \hline
Angles en degrés		&			&91			&			&			&180\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On veut représenter cette répartition par un diagramme semi-r
circulaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau, en tenant compte des règles suivantes:

\begin{itemize}
\item les fréquences seront arrondies au dixième ;
\item les angles seront arrondis au degré le plus proche.
\end{itemize}

On indiquera uniquement les calculs effectués pour compléter la colonne \og Agriculture \fg.
\item Dessiner le diagramme semi-circulaire en prenant un rayon de 5 centimètres.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
ABCD est un carré BE $= 6$ et BF $= 12$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que le. droites (AD) et (BE) sont parallèles, justifier l'égalité :

\[\dfrac{\text{AD}}{\text{BE}} = \dfrac{\text{FA}}{\text{FB}}\]
 
\item On appelle $x$ la longueur du côté du carré ABCD. À partir de l'égalité précédente, déterminer la valeur de $x$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill 
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.5,7)
\pspolygon(0.3,6.3)(0.3,0.3)(3.3,0.3)%FBE
\psframe(0.3,0.3)(2.32,2.32)%BCDA
\uput[l](0.3,3){A} \uput[l](0.3,0.3){B} \uput[d](2.32,0.3){C}
\uput[ur](2.32,2.32){D} \uput[r](3.3,0.3){E} \uput[u](0.3,6.3){F}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item L'unité étant le centimètre, dessiner la figure en vraie grandeur.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
Un flacon de parfum a la forme ci-contre (en trait plein).

Le corps du flacon est une pyramide régulière à base carrée, coupée par un plan parallèle à cette base.

Le côté du carré ABCD mesure $6$ cm. On appelle O le centre de ce carré.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-3.5)(2.4,0.7)
%\psgrid
\pspolygon(-1.9,-0.5)(0.5,-0.8)(1.9,0.5)(-0.5,0.8)%ABCD
\uput[l](-1.9,-0.5){A} \uput[r](0.5,-0.8){B} \uput[r](1.9,0.5){C} \uput[u](-0.5,0.8){D} 
\psline(-0.83,-1.8)(0.22,-1.9)(0.84,-1.3)%IJK
\psline[linestyle=dashed](0.84,-1.3)(-0.21,-1.19)(-0.83,-1.8)%KLI
\uput[dl](-0.83,-1.78){I} \uput[dr](0.22,-1.9){J} \uput[r](0.84,-1.3){K} \uput[l](-0.21,-1.19){L}
\psline[linestyle=dashed](-1.9,-0.5)(0,-2.8)%AS
\psline[linestyle=dashed](0.5,-0.8)(0,-2.8)%BS 
\psline[linestyle=dashed](1.9,0.5)(0,-2.8)%CS
\psline[linestyle=dashed](-0.5,0.8)(0,-2.8)%DS
\psline(-1.9,-0.5)(-0.83,-1.78)%AI
\psline(0.5,-0.8)(0.22,-1.9)%BJ 
\psline(1.9,0.5)(0.84,-1.3)%CK
%\psline(-0.5,0.8)(-0.21,-1.19)%DL
\uput[d](0,-2.8){S}\uput[r](0,0){O}\uput[r](0,-1.54){O$'$}
\psline[linestyle=dashed](-1.9,-0.5)(0,0)(0,-2.8)%AOS
\psline[linestyle=dashed](-0.83,-1.78)(0,-1.54)%IO'
\psline(-0.18,-0.1)(-0.18,-0.21)(0,-0.16)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de la longueur de la diagonale [AC].
		\item On donne SO $= 3\sqrt 2$.
		
Calculer la longueur de l'arête [SA].
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le volume en cm$^3$ de la pyramide SABCD est égal à $36\sqrt 2$.
\item  On sait que $\dfrac{\text{SI}}{\text{SA}} = \dfrac13$.
	\begin{enumerate}
		\item En déduire que:
		
\begin{itemize}
\item la hauteur en cm de la pyramide SIJKL est égale à $\sqrt{2}$ ;
\item le volume de la pyramide SIJKL s'obtient en multipliant
celui de la pyramide SABCD par $\dfrac{1}{27}$.
\end{itemize}
		\item Calculer le volume exact de la pyramide SIJKL.
	\end{enumerate}	
\item Calculer la contenance du flacon, à $1$ cm$^3$ près par excès.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème \hfill 12 points}

\bigskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner un tel repère sur une feuille de papier millimétré. 
\item Placer les points A$(- 3~;~- 1)$ et B(5~;~3)
\item Déterminer une équation de la droite (AB).
\item Soit $\Delta$ la droite d'équation : $y = - 2x + 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points C (0~;~3) et D (2~;~-1) sont situés sur $\Delta$.
		\item Tracer la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}	
\item On donne le système d'équations:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
y &=& - \dfrac12 x + \dfrac12\\
y &=& - 2x + 3
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre le système par le calcul.
		\item Expliquer comment on retrouve graphiquement la solution du système.
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point K (1~;~1) est le milieu des segments [AB] et [CD].
		\item Démontrer que les droites (AB) et $\Delta$ sont perpendiculaires.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ?
		
Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}