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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Strasbourg}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Strasbourg\:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit la fonction 
\[y= - 2x + 6.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement cette fonction (unité: le cm), A et B étant les points d'intersection de la ligne représentative avec l'axe des abscisses et avec l'axe des ordonnées respectivement.

Calculer la longueur AB.
\item Former l'équation de la hauteur [OH] du triangle AOB (O étant l'origine des coordonnées) et tracer (OH) sur le graphique.
\item Calculer les coordonnées du point H (et vérifier sur le graphique).
\item Sur le prolongement du segment [OH], on choisit le point C d'ordonnée $y = 2$.

Former l'équation de la droite parallèle à (AB) passant par le point C.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Sur un demi-cercle de diamètre [AD] tel que AD $= 2R$, on marque deux points B et C, de manière que les points se suivent dans l'ordre A, B, C, D et que la corde [BC] ait une longueur  égale à celle du côté du carré inscrit dans le cercle de rayon $R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose d'abord que la corde [AB] a une longueur  égale au rayon $R$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les valeurs des angles du quadrilatère ABCD, la longueur du côté [BC] et celle de la diagonale [BD].
		\item Soit P le point de rencontre des diagonales [AC] et [BD].

Montrer que les triangles ABP et PCD sont isocèles.

En déduire la longueur du segment [BP], puis celle du côté [CD].
	\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que la corde [BC] garde une longueur constante (la même que précédemment), mais que cette corde change de position (B et C se déplacent sur le demi-cercle, les points restant dans l'ordre A, B, C, D).

Trouver le lieu géométrique du point P.
\end{enumerate}
\end{document}