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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rfoot{\small{septembre 1975}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Strasbourg septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par: 

\[\begin{array}{l l c l}
f :& x& \longmapsto&f(x) = (3x - 1)^2 - (2 - 5x)^2\\
g :& x& \longmapsto&g(x) = 64x^2 - 48x + 9
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Décomposer en produits de facteurs du premier degré $f(x)$ et $g(x)$.
\item Soit $A$ la fonction rationnelle définie par:
\[A(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}.\]

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $A$ ; simplifier $A(x)$.
\item Calculer $f\left(\dfrac23\right), \: g\left(\sqrt 2\right), \: A(-2),\: A\left(10^{-1}\right)$.
\item Le plan étant muni d'un repère orthonormé \Oij{} représenter graphiquement, dans ce repère, les fonctions $h$ et $k$ de $\R$ dans $\R$ définies par:

\[\begin{array}{l l c l}
h :&x&\longmapsto&8x - 3\\
k :& x&\longmapsto&2x + 1
\end{array}\]

et calculer les coordonnées du point commun aux représentations graphiques de $h$ et $k$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points
\begin{center}A(3~;~4), \qquad B(1~;~0), \qquad C( 3~;~-2).\end{center}

Calculer les coordonnées du milieu I de (A, C), puis les coordonnées du point D symétrique de B par rapport à I.
\item Calculer les distances $d$(A,B) et $d$(B, C).
\item Déduire de ce qui précède la nature du quadruplet (A, B, C, D).
\item Tracer la droite $(\Delta)$ parallèle à (DB) passant par A.

$(\Delta)$ coupe l'axe des abscisses en E.

Calculer les coordonnées de E.
\item Calculer les distances $d$(A, C), \quad $d$(A, E), \quad $d$(C, E) ; en déduire la nature du triangle ACE.
\item Calculer $\tan \widehat{\text{ACE}}$ (c'est-à-dire la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{AfE}}$).
\end{enumerate}
\end{document}