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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Strasbourg septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle isocèle ABC dont les côtés ont pour mesure AB = AC $= 6,5$~cm,\: BC $= 5$~cm.

On trace la hauteur [AH] et, par un point K de [AH] (K entre A et H), on mène la parallèle à (BC), qui coupe (AB) et (AC) respectivement en E et F.

On pose AK $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BE et RF en fonction de $x$ et montrer que le périmètre, $y$, du quadrilatère BEFC et la longueur
$x$ sont liés par la relation 
\[y= -\dfrac43 x + 18.\]
\item Étudier les variations de $y$ lorsque K décrit le segment AH et représenter graphiquement ces variations.
\item Déterminer graphiquement et par le calcul la valeur de $x$ pour laquelle $y$ est égal à $12$~cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ et de centre O.

On prolonge [AB] d'une longueur BC $= R$.

On désigne par T le point de contact avec le cercle de l'une des tangentes menées par C à ce cercle et par D l'intersection de cette tangente avec la tangente en A.

Soit H le pied de la perpendiculaire abaissée de T sur (AB).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer CT, CH. Quelle est la position de H sur le segment [CA] ?
\item Démontrer que T est le milieu de [CD] ; calculer CD.
\item Démontrer que
\[\overline{\text{CH}} \times \overline{\text{CO}} = \overline{\text{CA}} \times \overline{\text{CB}}.\]
\item Soit K le pied de la perpendiculaire abaissée de B sur (CD).

Démontrer que les triangles CBK et CAO sont semblables.

Calculer leur rapport de similitude.

En déduire que.
\[\overline{\text{CK}} \times \overline{\text{CD}} = \overline{\text{CH}} \times \overline{\text{CO}}.\]

Que peut-on en conclure pour les points D, O, H, K ?
\end{enumerate}
\end{document}