\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B. E. P{}. C.},
pdftitle = {Strasbourg septembre 1962},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Strasbourg}}
\rfoot{\small{septembre 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Strasbourg~\decofourright\\[7pt]
 septembre 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.
\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

Soient les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x) & =& \left(\dfrac{x - 1}{x + 2} - \dfrac{x - 3}{x + 2} + 3\right)\left(x^2 - 4\right),\\
B(x) & =&\left(x^2 - 2x + 1\right) +(x - 1)(2x + 9).
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire la quantité entre crochets de l'expression $A(x)$ sous forme d'une fraction unique, puis simplifier cette expression.
\item Mettre $B(x)$ sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
\item Existe-t-il des valeurs de $x$ telles que l'on ait 
\[\dfrac{A(x)}{B(x)} = 1, \qquad \dfrac{A(x)}{B(x)} = 2, \qquad \dfrac{A(x)}{B(x)} = \sqrt 2 ?\]

\item Résoudre graphiquement le système 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y - x + 2 &=& 0,\\
y - 3x - 8 &=&0.
\end{array}\right.\]
Vérifier par le calcul.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. -} La question 4. est indépendante des trois premières.

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Les côtés d'un triangle rectangle mesurent AB $= 8$ cm, AC $=6$ cm et BC $= 10$ cm.

Calculer la longueur de la hauteur [AH] et celles des segments [BH] et [CH].
\item Le cercle de centre H et de rayon HA coupe (AB) en D et le prolongement de [AC] en E.

Montrer que les trois points E, H, D sont alignés.

Montrer que les triangles ABC et ADE sont semblables.

Calculer AE et AD.
\item La perpendiculaire abaissée de A sur (DE) coupe (BC) en Q et (DE) en P.

Montrer que Q est le milieu de [BC].
\item On élève une perpendiculaire à (BC) en Q et une perpendiculaire à (DE) en H.

Les deux perpendiculaires se rencontrent en un point O, qui est le centre d'un cercle passant par quatre points de la figure.

Le démontrer.
\end{enumerate}
\end{document}