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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Strasbourg septembre 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme de produit de facteurs du premier degré les expressions suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (2x - 3)(x - 1)^2 + 4(3 - 2x),\\
B(x)&=&3x^2 - x^3 + x - 3.
\end{array}\]

\item Calculer la fraction $F(x)  = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Pour quelles valeurs de $x$ n'est-elle pas définie ?

On suppose à présent $x$ différent de ces valeurs ; simplifier alors la fraction $F(x)$.

Pour quelle valeur de $x$ est-elle égale à 1 ?
\item Dans un système d'axes orthonormé tracer les droites d'équations respectives
\begin{center}$y_1 = - 2x + 3$\quad  et \quad $y_2  = x - 1$.\end{center}

Calculer les coordonnées de leur point d'intersection.

Vérifier ainsi le résultat obtenu à la question 2. ($F(x) = 1$).

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AB] et la tangente B$x$ à ce demi-cercle.

On pose AB $= a$ et l'on trace une corde [AC] de longueur $\dfrac{3a}{5}$.

Soit [CH] la hauteur du triangle ABC et K le point d'intersection du support de (AC) avec B$x$.

La perpendiculaire en K à (AK) coupe (AB) en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $a$, la longueur du segment [HB].
\item Démontrer l'égalité 
\begin{center}CH $\times$ BK = CA $\times$ CK.\end{center}

Calculer ces produits en fonction de $a$.
\item Calculer les longueurs CK et BD en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}