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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Strasbourg}
\lfoot{\small septembre 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg septembre 1976 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'application $f$ définie par

\[\begin{array}{l l c l}
f : &\R &\to 			&\R\\
	&x	&\longmapsto 	&f(x) = (3 - 2x)(1 - x)- \left(9 - 4x^2\right) + 3x(2x - 3)
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer $f(x)$, réduire et ordonner.
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Déterminer les images par $f$ des réels suivants
\begin{center} $\dfrac32, \quad 0,\quad \sqrt 2,\quad - 2 \cdot 10^{-1}$\end{center}
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction rationnelle définie par 
\[\begin{array}{l l c l}
g : &\R&\to&\R\\
&x&\longmapsto&g(x) = \dfrac{(4x + 1)\left(12x^2 - 14x - 6\right)}{- (3 - 2x)(2 +6x)(x - 2)}.\
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est le domaine de définition $\mathcal{D}$ de $g$ ?
		\item Simplifier $g(x)$. On utilisera pour cela les résultats des questions 1. a. et 1. b.
		\item Résoudre dans $\R$, \: 
		\[g(x) = 0, \qquad g(x) =1.\]
	\end{enumerate}
\item  Dans le plan muni d'un un repère cartésien \Oij représenter graphiquement les fonctions affines
\begin{center}$x \longmapsto  4x + 1$, \qquad 
$x \longmapsto x - 2$\end{center}

Quel est leur point d'intersection ?

Pouvait-on le prévoir ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}
\smallskip

Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, on
considère les points A et M de coordonnées respectives : 

\begin{center}A$(- 1~;~3)$,\qquad  M$(- 5~;~0)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du milieu I de (O, A).

Soit N le symétrique de M par rapport à I.

Calculer les coordonnées de N.
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AO}}$ et $\vect{\text{MN}}$.

Calculer $d$(A, M) ; $d$(O, M) ; $d$(M, N) ; $d$(A, O).
\item Quelle est la nature du quadrilatère (O, M, A, N) ?
\item Démontrer que les droites (AO) et (MN) sont orthogonales.
\item Soit Q le point du plan qui vérifie $\vect{\text{NQ}} = - \dfrac23\vect{\text{NM}}$.

Déterminer les coordonnées de Q. (par le calcul).
\item Trouver la valeur du cosinus, puis de la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{AMI}}$.
\end{enumerate}
\end{document}