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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Strasbourg}
\lfoot{\small septembre 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

 Soit $f$ la fonction polynôme de $\R$ dans $\R$ définie par :
\[f(x) = x^2 - 4x + 4 + (2x - 4)(x - 5).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Mettre $f(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation: $f(x) = 0$.
\item Calculer les nombres $f\left(\dfrac13\right),\: f(2)$ et $f\left(\sqrt 3\right)$.
\item Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$ trouver un encadrement à $10^{-1}$ près du nombre $f\left(\sqrt 3\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $h$ la fonction rationnelle de $\R$ dans $\R$ telle que :
\[h(x) = \dfrac{(x - 2)(3x - 12)}{(x - 4)}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de définition $\mathcal{D}$ de la fonction $h$ ? 
\item Lorsque $x$ est un élément de $\mathcal{D}$ simplifier $h(x)$.
\item Soit $h'$ l'application affine de $\R$ dans $\R$ telle que:
\[h'(x) = 3x - 6.\]

Représenter graphiquement l'application $h'$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les points A, B, C de coordonnées indiquées : 
\begin{center}A(1~;~2),\qquad B$(-1~;~3)$,\qquad C(2~;~4).\end{center}

\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.

Quelle autre propriété possède ce triangle ?
\item Soit I le milieu du segment [BC], et, soit $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre [BC]. 

Calculer les coordonnées du point I.

Démontrer que le point A appartient au cercle $\mathcal{C}$
\item Soit A$'$ le symétrique du point A par rapport au point I. 

Démontrer que A$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.

Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, A$'$ , C) ?
\item Calculer les coordonnées du point A$'$.
\item Tracer le droite $D$, tangente en A$'$ au cercle $\mathcal{C}$.

Déterminer l'abscisse du point E commun à la droite $D$ et à l'axe des abscisses.
\end{enumerate}
\end{document}