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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Strasbourg}
\lfoot{\small septembre 1978}
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\thispagestyle{empty}
%%%%%%%%%%%%%% Strasbourg
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On considère la fonction polynôme $P$ définie par: 
\[P(x) = (2x + 3)^2 - (5x + 1)(2x + 3) + 2\left(4x^2 - 9\right).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner P(x) suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Mettre $P(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Soit la fonction rationnelle $F$ définie par: 
\[F(x) = \dfrac{4x^2 - 9}{P(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Trouver l'\emph{ensemble} de définition de $F$ (on le notera $\mathcal{D}$).
		\item Simplifier $F(x)$.
	\end{enumerate}
\item Soit les fonctions affines $f$ et $g$ définies par:

\[\begin{array}{l  l c l}
f:&\R&\to &\R\\
&x& \longmapsto &x - 4
\end{array} \qquad 
\begin{array}{l  l c l}
g :&\R&\to &\R\\
&x &\longmapsto& 2x - 3
\end{array} \]

On considère le plan euclidien muni du repère orthonormé \Oij.

On prend 1~cm pour unité.

On appelle $D$ et $\Delta$ les représentations graphiques respectives de $f$ et de $g$ dans ce plan.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer $D$ et $\Delta$.
		\item Soit S le point d'intersection de $D$ et $\Delta$.
		
Calculer les coordonnées de S.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Faire une figure (unité 1~cm).

Dans le plan euclidien muni du repère orthonormé \Oij{} on donne le points:
\begin{center}A (3~;~8), \qquad  B(8~;~3), \qquad C(1~;~2), \qquad  D$(-4~;~7)$ \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit K le milieu du segment [CB].

Calculer les coordonnées de K.
\item Calculer les cordonnées de $\vect{\text{AB}}$ et de $\vect{\text{DC}}$.

En déduire que (A, B, C, D) est un parallélogramme.
\item Calculer les distances $d$(A, D) et $d$(A, B).

Que peut-on en déduire pour (A, B, C, D) ? Justifier.
\item Soit le point T(5~;~6). Montrer que les points A, T, B sont alignés,
\item Montrer que les droites (CT) et (AB) sont perpendiculaires en T.
\item Soit M le point d'intersection des segments [CA] et [BD].
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle (CMB) est rectangle en M.
		\item Démontrer sans calcul que les droites (MK) et (AB) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}