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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1994}
\rfoot{\small Strasbourg }
\lfoot{\small septembre 1994}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg  septembre 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\emph{Les quatre exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner sous forme de fractions irréductibles:

\[A = \dfrac57 : 2 - \dfrac{15}{14} ; \qquad B = 2 - \dfrac53 \times \dfrac{1}{12} + \dfrac16\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Factoriser les expressions suivantes:

\[C= 16x^2 - 9 ; \qquad D = (2x + 5)(x + 3) - (2x + 5)(x - 1)\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et simplifier :

\[E= \left(3\sqrt 5 - 4\right)^2\]

\item Écrire sous la forme $a \sqrt 2$ où $a$ est un entier relatif:

\[F = \sqrt{98}+ \sqrt{18} - 6\sqrt 2\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Plusieurs élèves d'une classe décident d'offrir un cadeau à un camarade pour son anniversaire.

Si chacun donne $10$~F{}, alors il manque $11$~F pour payer le cadeau. 

Si chacun donne $2$ F de plus, alors il restera $3$ F après l'achat du
cadeau.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre $x$ des élèves qui participent à cet achat. 
\item Calculer le prix du cadeau.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}On considère la figure ci-dessous.

On ne demande pas de la reproduire

AE = 40 mm 

EB = 24 mm 

AF = 35 mm 

FC = 21 mm  

BC = 80 mm
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.53\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.7,6.6)
\pspolygon(0;0)(4;0)(3.5;85)%AEF
\pspolygon(4;0)(6.4;0)(5.6;85)(3.5;85)%EBCF
\uput[d](2,0){40}\uput[d](5.2,0){24}
\uput[l](1.75;85){35}\uput[l](4.55;85){21}
\uput[d](0;0){A} \uput[d](6.4;0){B} \uput[u](5.6;85){C} \uput[d](4;0){E} \uput[l](3.5;85){F} \uput[ur](3.3,3.3){80}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\vspace{0.6cm}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles. 
\item Calculer EF.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère un losange ABCD.

On appelle O le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD]. On donne : AC $= 5$ cm ; BD~$=~8$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le losange en vraie grandeur sur la copie.
\end{enumerate}

\textbf{On complétera la figure au fur et à mesure des questions.}

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifier. 
		\item Calculer les longueurs OA et OB.
		\item Calculer la longueur AB au millimètre près.
	\end{enumerate}
\item  Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{OAB}}$ au degré près.
\end{enumerate}

\textbf{Dans la suite du problème on prendra $58\degres$ comme mesure de l'angle OAB.}

\begin{enumerate}[resume]
\item La bissectrice de l'angle $\widehat{\text{OAB}}$ coupe le segment [OB] en M et le segment [BC] en T.
	\begin{enumerate}
		\item Construire cette bissectrice à la règle et au compas (on laissera le traits de construction).
		\item Calculer la longueur OM au millimètre près. 
	\end{enumerate}
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ATC}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

À l'intérieur de sa propriété, M. Durant prévoit quatre parcelles \textcircled{A}, \textcircled{B}, \textcircled{C}, \textcircled{D} comme l'indique le plan ci-dessous.

La forme des parcelles \textcircled{B}, \textcircled{C}, \textcircled{D} peut être modifiée en déplaçant la borne M sur une longueur de 55 m entre O et S.

La parcelle \textcircled{A} est un carré.

La parcelle \textcircled{B} est composée d'un carré et du rectangle variable OMNP.

La parcelle \textcircled{C} est le trapèze variable MUTS.

La parcelle \textcircled{D} est le triangle rectangle variable OUM.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(7.5,5.8)
%\psgrid
\psframe(0.7,1.2)(2.7,3.2)%carré
\pspolygon(2.7,0.8)(5.8,0.8)(6.5,3.2)(2.7,3.2)%UTSO
\psline(5.3,3.2)(2.7,0.8)%MU
\psline(5.3,3.2)(5.3,3.9)(2.7,3.9)(2.7,4.6)(1.3,4.6)(1.3,3.2)%MNP??
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](5.8,0.8)(6.5,0.8)(6.5,3.2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.3,4.8)(2.7,4.8)\uput[u](2,4.8){20 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.7,4.8)(5.3,4.8)\uput[u](4,4.8){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.4,1.2)(0.4,3.2)\uput[l](0.4,2.2){30 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.4,3.2)(0.4,4.6)\uput[l](0.4,3.9){20 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.7,0.3)(2.7,0.3)\uput[d](1.7,0.3){30 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.7,0.3)(5.8,0.3)\uput[d](4.25,0.3){45 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.8,0.3)(6.5,0.3)\uput[d](6.15,0.3){10 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6.8,0.8)(6.8,3.2)\uput[r](6.8,2){36 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6.8,3.2)(6.8,3.9)\uput[r](6.8,3.55){10 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6.8,3.9)(6.8,4.6)\uput[r](6.8,4.25){10 m}
\uput[dr](2.7,0.8){U} \uput[dr](5.8,0.8){T} \uput[u](6.5,3.2){S} \uput[ur](5.3,3.2){M}
\uput[ur](5.3,3.9){N} \uput[u](2.7,3.2){O} \uput[ur](2.7,3.9){P} 
\rput(1.7,2.2){\textcircled{A}}\rput(2,4){\textcircled{B}} 
\rput(5.2,1.6){\textcircled{C}}\rput(3.6,2.6){\textcircled{D}}
\end{pspicture}
\end{center}

M. Durant souhaiterait obtenir quatre parcelles de même aire. 

On pose OM $= x$.

On note $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}$ les aires respectives des parcelles \textcircled{A}, \textcircled{B}, \textcircled{C} et \textcircled{D}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $\mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}$ en fonction de $x$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}$.
		\item Calculer $\mathcal{B}, \mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ lorsque $x$ est égal à $55$~m.
	\end{enumerate}	
\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle C est égale à \np{1215} m$^2$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle $\mathcal{A} = \mathcal{B}$. 
		\item Calculer alors $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
		\item Que peut-on en conclure ?
	\end{enumerate}	
\item On considère un repère orthogonal :
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses, 1 cm représente $5$ unités ;
\item sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente $100$ unités.
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Sur du papier millimétré, dessiner un tel repère en plaçant l'origine en bas et à gauche.
		\item Tracer, dans ce repère, les droites $\left(d_1\right),\: \left(d_2\right),\: \left(d_3\right)$,\: et $\left(d_4\right)$ d'équations respectives :
		
$y = 900$

$y = 18x$

$y = 10x + 400$

$y =- 18x + \np{1800}$
	\end{enumerate}
\item  Expliquer comment le graphique précédent indique les résultats de la question 4.
\end{enumerate}
\end{document}