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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Strasbourg}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Voici un graphique représentant l'évolution des demandes d'emploi en Alsace entre fin janvier 1985 et fin juillet 1987.

En abscisses, les lettres majuscules représentent les initiales
des mois de l'année.

En ordonnées, les nombres représentent le nombre de milliers de demandes d'emploi.

Par exemple, fin mai 1986 il y avait \np{54300} demandes
d'emploi en Alsace.

\begin{center}
\textbf{Demandes d'emploi à la fin du mois (en milliers)}

\medskip

\def\month#1{%
\ifcase#1\or J\or F\or M\or A\or M\or J\or J\or A\or S\or O\or N\or D\or J\or F\or M\or A\or M\or J\or J\or A\or S\or O\or N\or D\or J\or F\or M\or A\or M\or J\or J\fi}
\makeatletter
\def\pst@@@hlabel#1{\uput[d]{\footnotesize \month{#1}}}
\makeatother
\psset{xunit=4mm,yunit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-1)(31,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](0,0)(31,13)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=40,Oy=51,showorigin=false]{->}(31,13)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,7.3)(3,11)(4,11.5)(5,11)(6,11.25)(10,11.75)(11,11.75)(12,11.75)(13,3.25)(14,3.3)(18,1.5)(20,1.75)(25,7.5)(27,8)(29,3.5)
\uput[d](6,-1){1985}\uput[d](18,-1){1986}
\uput[d](0,0){J}\uput[d](1,0){F}\uput[d](2,0){M}\uput[d](3,0){A}\uput[d](4,0){M}\uput[d](5,0){J}\uput[d](6,0){J}\uput[d](7,0){A}\uput[d](8,0){S}\uput[d](9,0){O}\uput[d](10,0){N}\uput[d](11,0){D}\uput[d](12,0){J}\uput[d](13,0){F}\uput[d](14,0){M}\uput[d](15,0){A}\uput[d](16,0){M}\uput[d](17,0){J}\uput[d](18,0){J}\uput[d](19,0){A}\uput[d](20,0){S}\uput[d](21,0){O}\uput[d](22,0){N}\uput[d](23,0){D}\uput[d](24,0){J}\uput[d](25,0){F}\uput[d](26,0){M}\uput[d](27,0){A}\uput[d](28,0){M}\uput[d](29,0){J}\uput[d](30,0){J}
\end{pspicture}
\end{center}

Répondre aux questions suivantes après lecture graphique:

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quand y avait-il le moins de demandes d'emploi?
		\item A ce moment-là, combien y en avait-il ?
		\item Quand y avait-il \np{62000}~demandes d'emploi en Alsace?
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en donnant le résultat sous la forme d'une
fraction irréductible,

\[A = \dfrac13 - \dfrac{15}{12} + \dfrac14.\]

		\item Calculer, en donnant le résultat sous la forme $a\sqrt b$ où $b$ est l'entier le plus petit possible,
		
\[B = 4\sqrt{54}  + 5\sqrt{24} - 2\sqrt 6 + 3\sqrt{150}.\]

	\end{enumerate}
\item Dans une classe de $28$ élèves, on procède à l'élection de délégués.

Sophie, Anne, Pierre et Jean sont candidats.

Chacun des 28 élèves a déposé dans l'urne un bulletin de vote sur lequel figure un nom et un seul parmi les quatre.

À l'issue du vote, Sophie obtient les $2/7$ des voix; Anne obtient $25\,\%$ des voix;
Jean obtient $5$ voix de plus que Pierre.

Calculer le nombre de voix obtenues par chacun d'eux, en présentant tous les calculs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On accroche au mur une étagère de $30$~cm de large. Pour la soutenir, on dispose d'une tige en fer de $55$~cm.

Sur le schéma ci-après, la droite (AC) représente le mur, le segment [AB] représente l'étagère et le segment [BC] la tige en fer.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en cm la distance AC. (On donnera une valeur arrondie à l'entier le plus proche.)
\item Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
\item En déduire en degré une mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$. (On donnera une valeur arrondie à l'entier le plus proche.)
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.6,4.9)
\multido{\n=0.000+0.184,\na=0.200+0.184}{25}{\psline(0,\n)(0.4,\na)}
\psline(0.4,0.7)(3.3,3.9)(0.4,3.9)%CBA
\uput[ur](0.4,3.9){A} \uput[r](3.3,3.9){B} \uput[dr](0.4,0.7){C}
\psframe(0.4,3.9)(0.6,3.7)
\psline(0.4,0)(0.4,4.9)
\end{pspicture}
\end{center}

On pourra se servir des tableaux ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-2}\cline{4-5}
$a$		&$\sqrt a$	&	&Angle 		&Cosinus\\ \cline{1-2}\cline{4-5}
\np{2124} 	&46,087		& 	&54\degres	&\np{0,5878}\\ \cline{1-2}\cline{4-5}
\np{2125} 	&46,098		& 	&55\degres	&\np{0,5736}\\ \cline{1-2}\cline{4-5}
\np{2126} 	&46,109		& 	&56\degres	&\np{0,5592}\\ \cline{1-2}\cline{4-5}
		&			&	&57\degres	&\np{0,5446}\\ \cline{1-2}\cline{4-5}
		&			&	&58\degres	&\np{0,5299}\\ \cline{1-2}\cline{4-5}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit un triangle quelconque ABC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point 0 tel que $\vect{\text{AD}} = \vect{\text{OC}}$.
\item Construire le parallélogramme ADEC.
\item Démontrer que le point C est le milieu du segment [BE].
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On veut réaliser une pyramide ABCDE contenue dans un cube et représentée par la figure ci-après.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Citer sans justification les arêtes de la pyramide qui ont la même longueur que l'arête [BC].
\item Les arêtes [AB] et [AO] sont-elles de même longueur ? 

Pourquoi?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.6)
\psframe(0.2,0.2)(4.2,4.2)
\psline(4.2,0.2)(5.8,1.1)(5.8,5.1)(4.2,4.2)%côté droit
\psline(5.8,5.1)(1.8,5.1)(0.2,4.2)%haut
\psline[linewidth=1.25pt](1.8,1.1)(1.8,5.1)(0.2,0.2)(4.2,0.2)(1.8,5.1)(5.8,1.1)(4.2,0.2)%EABCADC
\psline[linewidth=1.25pt](0.2,0.2)(1.8,1.1)(5.8,1.1)%BED
\uput[u](1.8,5.1){A} \uput[d](0.2,0.2){B} \uput[d](4.2,0.2){C} \uput[r](5.8,1.1){D} \uput[ur](1.8,1.1){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Un menuisier propose à ses clients des portes ayant la forme
d'un rectangle surmonté d'un demi-disque.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.4,6.6)
\psline[linewidth=1.25pt](1.7,4.7)(1.7,0.8)(4.7,0.8)(4.7,4.7)
\psarc[linewidth=1.25pt](3.2,4.7){1.5}{0}{180}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.2,4.7)(1.2,0.8)\uput[l](1.2,2.75){180 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6.4,6.2)(6.4,0.8)\uput[r](6.4,3.7){$h(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.7,0.3)(4.7,0.3)\uput[u](3.2,0.3){$x$}
\psline[linestyle=dashed](1.2,6.2)(6.4,6.2)
\psline[linestyle=dashed](1.2,4.7)(4.7,4.7)
\psline[linestyle=dashed](1.2,0.8)(6.4,0.8)
\psline[linestyle=dashed](1.7,0.8)(1.7,0.3)
\psline[linestyle=dashed](4.7,0.8)(4.7,0.3)
\end{pspicture}
\end{center}

L'unité de longueur est le centimètre (cm).

La hauteur du rectangle est égale à $180$ cm. Sa largeur $x$ est variable et comprise entre $70$ et $120$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un client commande une porte de 96 cm de largeur.

Calculer la hauteur totale de cette porte.
\item Cas général :
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de la largeur $x$ la hauteur totale $h(x)$ d'une porte.
		\item Une cliente voudrait une porte dont la hauteur totale soit $234$ cm. Calculer la largeur qu'il faut donner à cette porte.
	\end{enumerate}	
\item On considère un repère orthogonal où les abscisses $x$ et le ordonnées $y$ correspondent à des distances exprimées en cm.

Les unités graphiques sont telles que:

\begin{itemize}
\item en abscisses, 1 cm représente $10$ cm ;
\item en ordonnées, 1 cm représente $20$ cm.
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Sur une feuille de papier millimétré, construire ce repère. (On peut se limiter aux points ayant leurs deux coordonnées positives.)
		\item Dans ce repère, tracer la droite d'équation

\[y = \dfrac{x}{2} + 180.\]

		\item Repasser en couleur la partie de la droite qui correspond à toutes les largeurs de porte proposées par le menuisier.
		\item À l'aide de ce graphique,
		
\begin{itemize}
\item déterminer l'ordonnée du point d'abscisse $96$ ;
\item déterminer l'abscisse du point d'ordonnée $234$.
\end{itemize}

Y a-t-il un lien avec d'autres questions du problème ? Si oui, préciser lesquelles et expliquer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}