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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Strasbourg}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Strasbourg septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre l'expression suivante, $A$, sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré:

\[A= (2x + 3)^2 - (x - 4)^2.\]
\item Simplifier la fraction rationnelle suivante :
\[B = \dfrac{(x + 7)^2 - x - 7}{x + 6}.\]

\item Résoudre l'équation $A = B$. A

\item Calculer $\dfrac AB$.

On donne deux axes de coordonnées perpendiculaires $x'$O$x$ et $y'$O$y$ ; construire la droite d'équation
\[y = 3x - 1.\]

Quelle est l'équation de la perpendiculaire à cette droite passant par l'origine O des coordonnées ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de centre O, de rayon $R$, et soit [AB] un diamètre de ce cercle.

On trace la tangente en B au cercle et l'on porte, sur cette tangente C tel que  BC $= R\sqrt 3$.

(CA) recoupe le cercle en D ;  la droite (CO) coupe le cercle en E et F, le point E étant celui situé entre C et O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer CO et CE en fonction de $R$ ; en déduire que E est le milieu de [CO].

Quelle est la nature du triangle OBE ?

Calculer CA et BD.
\item On mène par E et F les perpendiculaires à la droite (BC) ;  elles la coupent respectivement en H et K.

Comparer les longueurs des segments [CH], [HB] et [BK] et les calculer.
 BK
Calculer les rapports $\dfrac{\text{BC}}{\text{AB}}$ et $\dfrac{\text{BK}}{\text{BO}}$.

Montrer que les triangles ABC et BOK sont semblables et en déduire les angles égaux.
\item On mène par O la perpendiculaire à (AB) ; elle coupe (AC) en M.

Quelle est la position de M sur [AC] ?

Quelle est la nature précise du quadrilatère OMCK ? 

Calculer son aire en fonction de $R$ et montrer qu'elle vaut le quadruple de l'aire du triangle OBK.
\end{enumerate}
\end{document}