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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Sud-Cameroun juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

On définit dans $\R$ une loi de composition notée * en posant

\[\forall x \in \R, \: \forall y \in \R :\quad  x * y = xy + 4x - 5.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $2 * 3$ et $3 * 2$.

La loi est-elle commutative ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, pour tout $x$ de $\R,\: A(x) = x * x.$
		\item Mettre $A(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
	\end{enumerate}
\item Résoudre les équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item  $A(x) = 0$ dans $\Z$ ;
		\item  $A(x) = 0$ dans $\N$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer \np{3920} en produit de facteurs premiers.

En déduire une expression simple de $A = \sqrt{\np{3920}}$.
\item Simplifier l'expression $B= 2\sqrt{75} - 4\sqrt{48} +7\sqrt{192}$.
\item Rendre rationnel le dénominateur de l'expression
\[E= \dfrac{A + B}{2\left(\sqrt 3 + 2\sqrt 5\right)}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip


Soit un plan muni d'un repère orthonormé \Oij.

On considère les points 
\begin{center}A(4~;~7),\quad B(2~;~1) \quad et \quad C(6~;~1) \end{center}

dans ce plan.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les composantes du vecteur $\vect{\text{BC}}$.
		
Que peut-on en déduire ?
		\item Soit A$'$, B$'$ et C$'$ les projections respectives de A, B et C sur 
$\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$ parallèlement à $\left(\text{O},~\vect{\jmath}\right)$.

Déterminer les abscisses de A$'$, B$'$ et C$'$ sur $\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$.

Que peut-on en déduire pour A$'$ relativement à B$'$ et C$'$ ?
		\item Soit H la projection orthogonale de A sur [BC].

Montrer que H est le milieu de [BC].

En déduire que (A, B, C) est un triangle isocèle.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du milieu, M, de [AC].
		\item Déterminer l'équation de la droite (BM).
		\item Déterminer un vecteur directeur de cette droite.
	\end{enumerate}
\item On considère la translation $T$ de vecteur 
\[\vect{V} = - 2\vect{\imath} - \vect{\jmath}.\]

On note

A$_1 =T$(A), \:B$_1  =T$(B), \: C$_1 = T$(C) \quad et\quad  M$_1 = T$(M).

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par leurs coordonnées les points A$_1$, \:
B$_1$, \:C$_1$ et M$_1$.
		\item Quelle est l'équation de la droite (B$_1$M$_1$) ?
		\item Déterminer un vecteur directeur de cette droite 
		\item Que peut-on dire des directions des droites (BM)
et (B$_1$M$_1$) ?

Pouvait-on prévoir le résultat ?
	\end{enumerate}
\item Soit G l'intersection de (BM) et (AH).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point G.
		\item Déterminer les composantes des vecteurs $\vect{\text{GA}},\: \vect{\text{GB}}$  et $\vect{\text{GC}}$.
		\item Vérifier que 
\[\vect{\text{GA}} + \vect{\text{GA}} + \vect{\text{GC}} = \vect{0}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}}