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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Sud Viet-Nam septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur un même graphique les droites $\left(D_1\right), \:\left(D_2\right),\: \left(D_3\right)$ représentatives des fonctions respectives suivantes :

\[\begin{array}{l l c l}
(1)& y&=&x - 2,\\
(2)& y&=&- x +6,\\
(3)& y&=&- 7x + 6.
\end{array}\]

\item Ces droites forment un triangle. Calculer les coordonnées des sommets.
\item Démontrer que ce triangle est rectangle.

Calculer le rayon du cercle circonscrit.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soient un segment fixe [AB] et la perpendiculaire [B$x$) à (AB).

Un point O se déplace sur [B$x$).

Le cercle de centre O tangent à (AB) coupe la demi-droite [AO) en deux points, M et N.

Les tangentes en M et N à ce cercle coupent la droite (AB) en deux points, C et D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le produit AM $\cdot$ AN est constant.
\item Comparer les triangles ABO, AMC et AND et montrer que les cercles de centres C et D et de rayons CM et DN sont tangents extérieurement en B.

En déduire que
\begin{center}$\dfrac{\text{AC}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{BD}}$\end{center}
\item Soit I le milieu de [CD].

Montrer que (IO) est parallèle aux tangentes (CM) et (DN), que le triangle COD est rectangle et que le cercle circonscrit à ce triangle est tangent en O à (AO).

En déduire la relation
\begin{center}AO$^2 =$ AC $\cdot$ AD.\end{center}
\item On suppose que AB $= 4$,\: BO $= 3$ ; calculer CA, CB, DA, DB.
\end{enumerate}
\end{document}