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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Sud Viet--Nam}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Sud Viet--Nam juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit $f$ et $g$ deux applications de $\R$ dans $\R$ définies par
\begin{center}$x \longmapsto f(x) = - 4x + 5$\quad et \quad $x \longmapsto g(x) = x^2 - 1$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(2),\:f(- 2), \:g(2)$ et $g(- 2)$.
		\item L'application $g$ est-elle une bijection ?
		\item Montrer que le nombre réel $\sqrt{10} - 2$ a même image par $f$ et par $g$.
		\item Résoudre $f(x) = 8$ et $g(x) = 8$.
	\end{enumerate}	
\item Soit

\begin{center}$A(x) = 16x^2 - 40x + 24$\quad et \quad $B(x) = -4x^2 + 9$.\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $A(x) = (g \circ f)(x)$ et que
\[A(x) = 8(1 - x)(3 - 2x).\]
		\item Montrer que $B(x) = (f \circ g)(x)$ et mettre $B(x)$ sous
forme d'un produit de facteurs du premier degré.
		\item Simplifier la fraction rationnelle $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$ ; soit
$F'(x)$ le résultat obtenu.
		\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $F'(x) = 1$ ?

		\item En déduire l'ensemble $A$ des réels tels que
\[(f\circ g)(x) = (g \circ f)(x).\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on a les points
\begin{center}A$(-2~;~1)$,\quad B(2~;~2)\quad  et\quad  C$(8~;~-4)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points A, O et C sont alignés.
\item Calculer les coordonnées du point D pour que (A, B, C, D) soit un parallélogramme.
\item Écrire une équation de la droite (AC).

Le point I$(4~;~- 2)$ est-il élément de cette droite ?
\item Soit E le symétrique de O par rapport au point B.

Quelles sont les coordonnées de E ?
\item Calculer les normes suivantes : 
\[\left\|\vect{\text{OC}}\right\|, \quad \left\|\vect{\text{AE}}\right\|, \quad\left\|\vect{\text{EC}}\right\|, \quad\left\|\vect{\text{AC}}\right\|.\]

En déduire la nature du triangle (A, E, C) et celle de (C, O, E).

[On rappelle que $\left\|\vect{\text{OC}}\right\| = d$(A, B).] 
\end{enumerate}
\end{document}