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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Sud-Cameroun juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système de deux équations à deux inconnues suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l r}
\phantom{2}x - 2y&=&-7&\quad(1) \\
2x - y &=&\phantom{-}1.&\quad(2)
\end{array}\right.\]

L'équation (1) représente une droite $\left(D_1\right)$, l'équation (2) représente une droite $\left(D_2\right)$.

Construire $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ et vérifier graphiquement le résultat obtenu.
\item Quelle est l'ordonnée du point, P, de la droite $\left(D_1\right)$ qui a pour abscisse $2$ et quelle est l'abscisse du point, Q, de la droite $\left(D_1\right)$ qui a pour ordonnée $\dfrac32$.
\item Quelles sont les coordonnées du point M, milieu de PQ ?
\item Donner l'équation de la droite $\left(D_3\right)$, parallèle à $\left(D_1\right)$ et passant par le point A de coordonnées $(4~;~- 2)$.

Construire cette droite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère, dans le repère orthonormé $(x'\text{O}x,~ y'\text{O}y)$ les points A de coordonnées (3~;~0) et B de coordonnées (0~;~4).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le point P, intérieur au segment [OA]
tel que $\dfrac{\text{PA}}{\text{PO}} = \dfrac32$.
(On calculera $\overline{\text{OP}}$.)

Soit M l'intersection avec la droite AB de la perpendiculaire en P à $x'\text{O}x$.

Montrer que 
\[\dfrac{\overline{\text{MA}}}{\overline{\text{MB}}} = - \dfrac32.\]

Soit Q la projection orthogonale de M sur $y'\text{O}y$.

Calculer $\overline{\text{OQ}}$ et en déduire les coordonnées du point M.
\item Soit $(\mathcal{C})$ le cercle de diamètre [OA].

Calculer la puissance de B par rapport à $(\mathcal{C})$.

En déduire la longueur de [BH], H étant le second point d'intersection de $(\mathcal{C})$ avec la droite (BA).
\item Soit I le milieu de [OA]. Déterminer le point I$'$ tel que
\[\overline{\text{BI}'} = \dfrac58\overline{\text{BI}}.\]

Soit N un point du cercle $(\mathcal{C})$. Construire le point N$'$ tel que 
\[\overline{\text{BN}'} = \dfrac58\overline{\text{BN}}.\]

Évaluer I$'$N$'$ en fonction de IN.

Si N décrit le cercle $(\mathcal{C})$, que peut-on dire de N$'$ ?
\end{enumerate}
\end{document}