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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Sud-Cameroun juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction réelle de variable réelle $x$ définie par
\[f(x) = ax + b,\]

où $a$ et $b$ étant des nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si $a$ appartient à $\R^*$,\: $f$ est une
bijection.

Quelle est alors l'application réciproque $f^{-1}$ ?
		\item Si $a = 0$, que peut-on dire de la fonction $f$ ? 
		\item Déterminer $a$ et $b$, sachant que
\begin{center}$f(- 2) = - 1$\quad  et \quad $f(2) = 3$.\end{center}
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction réelle de variable réelle définie
par
\[f :x  \longmapsto f(x) = x + 1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation :
\[2f(x) + 3 = 0.\]
		\item Déterminer l'ensemble $E$ auquel doit appartenir $c$
pour que les solutions de l'équation 
\[f(x) = c\]

appartiennent à $\N$.
		\item Tracer dans un repère orthonormé \Oij{} la représentation graphique de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction réelle de variable réelle définie par
\[g : x \longmapsto g(x) = 2x - 3\]

 et $f$ la fonction définie au 2.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $g(x) = f(x)$.
		\item Tracer la représentation de $g$ dans le repère
\Oij{} du 2. c.

Soit $h$ la fonction réelle de variable réelle définie par
\[h :x \longmapsto  h(x) = |2x- 3|.\]

		\item Suivant les valeurs de $x$, exprimer $h(x)$ en fonction
de $g(x)$.
		\item Tracer la représentation de $h$ dans le repère \Oij.
		\item Résoudre l'équation $h(x) = f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un repère orthonormé \Oij, on considère les points
\begin{center}A(0~;~4),\quad B(0~;~1) \quad et\quad  D(2~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les composantes de vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{BD}}$ et $\vect{\text{DA}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit M un point de coordonnées $\left(x~;~\dfrac52\right)$.
		
Montrer que M est équidistant de A et de B.
		\item M étant toujours un point de coordonnées $\left(x~;~\dfrac52\right)$, déterminer $x$ pour que M soit équidistant de A et de D.
	\end{enumerate}
\item Soit C le centre du cercle ($\mathcal{C}$) circonscrit au triangle (ABD).

Les coordonnées de C sont alors $\left(2 ~;~\dfrac52\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le rayon du cercle ($\mathcal{C}$).
		\item Calculer $C$(O), puissance du point O par rapport au cercle ($\mathcal{C}$).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les composantes du vecteur $\vect{\text{CA}}$.
		\item Soit N un point de coordonnées $(x~;~y)$ situé sur tangente en A au cercle ($\mathcal{C}$).
		
Montrer que $x$ et $y$ sont liés par la relation 
		\[3y - 4x = 12.\]
		\item Déterminer les coordonnées du point I, intersection de l'axe $\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$ avec la tangente en A au cercle ($\mathcal{C}$).
		\item Calculer la puissance $C$(I) de I par rapport au cercle ($\mathcal{C}$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}